[论文解读] On Symbolic Ultrametrics, Cotree Representations, and Cograph Edge Decompositions and Partitions

Marc Hellmuth, Nicolas Wieseke|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文证明了，对于任意图 G，存在一种符号超度量来区分边与非边，当且仅当 G 是一个 cograph，而 cograph 可通过 cotree 唯一表示。本文证明了，确定表示非 cograph 图 G 所需的最少 cotree 数量（或 cograph k-分解/划分）在 k=2 时是 NP-完全的，并推导出一般 k 的上界。

ABSTRACT

Symbolic ultrametrics define edge-colored complete graphs K_n and yield a simple tree representation of K_n. We discuss, under which conditions this idea can be generalized to find a symbolic ultrametric that, in addition, distinguishes between edges and non-edges of arbitrary graphs G=(V,E) and thus, yielding a simple tree representation of G. We prove that such a symbolic ultrametric can only be defined for G if and only if G is a so-called cograph. A cograph is uniquely determined by a so-called cotree. As not all graphs are cographs, we ask, furthermore, what is the minimum number of cotrees needed to represent the topology of G. The latter problem is equivalent to find an optimal cograph edge k-decomposition {E_1,...,E_k} of E so that each subgraph (V,E_i) of G is a cograph. An upper bound for the integer k is derived and it is shown that determining whether a graph has a cograph 2-decomposition, resp., 2-partition is NP-complete.

研究动机与目标

• 确定任意无向图 G 在何种条件下可由一种区分边与非边的符号超度量表示。
• 刻画存在此类符号超度量表示的图类。
• 研究表示非 cograph 图所需的最少 cotree 数量（或 cograph k-分解/划分）。
• 确定判断图是否具有 cograph 2-分解或 2-划分的计算复杂性。
• 推导出将任意图 G 分解或划分成 cograph 子图所需的最少 k 个 cograph 子图数量的上界。

提出的方法

• 定义符号超度量 δ: V×V → M∪{⊙}，满足对称性、类超度量条件以及非交叉条件，以确保可树表示。
• 证明图 G 存在一种区分边与非边的符号超度量，当且仅当 G 是 cograph，其中利用无诱导 P₄ 作为关键刻画特征。
• 利用 cograph 的唯一 cotree 表示来建模边着色子图的层次结构。
• 从 NAE 3-SAT 问题构造到 cograph 2-分解问题的归约，使用子句和文字构件来编码真值赋值。
• 应用引理 4.3，以确保在每个子句构件中，恰好两个三角形（代表文字）被分配到一个边集，第三个被分配到另一个边集，从而保证真值赋值的有效性。
• 通过证明有效的 cograph 2-分解（或 2-划分）对应于 NAE 3-SAT 公式的有效真值赋值，从而证明 NP-完全性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些图 G，存在一种符号超度量，能够区分边与非边，并且可进行树表示？
• RQ2 表示非 cograph 图结构所需的最少 cotree 数量（或 cograph 子图数量）是多少？
• RQ3 判断图是否具有 cograph 2-分解或 2-划分的问题在计算上是否可行？
• RQ4 对于任意图的 k-分解，可推导出的最少 k 个 cograph 子图数量的上界是什么？
• RQ5 从 NAE 3-SAT 问题归约中，诱导 P₄ 的结构与子句构件之间的关系如何影响 cograph k-分解的可行性？

主要发现

• 存在一种区分图 G 的边与非边的符号超度量，当且仅当 G 是 cograph。
• cograph 可通过 cotree 唯一表示，因此可进行符号树表示。
• 判断图是否具有 cograph 2-分解的问题是 NP-完全的。
• 判断图是否具有 cograph 2-划分的问题是 NP-完全的。
• 对于任意图 G，存在一个关于 cograph k-分解所需最小 k 的上界，尽管精确值计算是 NP-难的。
• cograph k-分解、cograph k-划分与 cotree k-表示之间的等价性意味着，当 k>1 时，这三类优化问题均为 NP-难。