[论文解读] On symmetric random walks with random conductances on $\Z^d$

Luiz Renato Fontes, Pierre Mathieu|ArXiv.org|Mar 8, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文研究了在 $ℤ^d$ 上具有独立同分布且在零附近具有多项式尾部的随机导率的对称连续时间随机游走。它建立了返回概率的精确退火衰减估计，表明由于导率尾部缓慢，其衰减速率可低至 $t^{-\gamma}$，其中 $\gamma < d/2$，并为有限环面上的谱间隙提供了普适下界，从而将扩散标度与导率无序效应分离开来。

ABSTRACT

We study models of continuous time, symmetric, $\Z^d$-valued random walks in random environments. One of our aims is to derive estimates on the decay of transition probabilities in a case where a uniform ellipticity assumption is absent. We consider the case of independent conductances with a polynomial tail near 0, and obtain precise asymptotics for the annealed return probability and convergence times for the random walk confined to a finite box.

研究动机与目标

• 推导当导率不具有统一椭圆性时，$ℤ^d$ 上对称随机游走的退火返回概率的精确渐近行为。
• 分析在导率无统一下界时转移概率的衰减行为，特别是当导率在零附近具有多项式尾部时。
• 在重尾导率分布下，为有限环面上对称随机游走的谱间隙建立普适下界。
• 比较 quenched 与 annealed 衰减行为，突出当导率尾部厚重时的差异。
• 将有限体积收敛时间中的扩散标度 $N^{-2}$ 与罕见小导率的影响分离开来。

提出的方法

• 使用一般可逆马尔可夫链在 $ℤ^d$ 上的退火返回概率的迹公式与比较引理。
• 在有限方块 $B_N$ 和环面上的谱分析，利用狄利克雷型式与生成元 $\mathcal{G}^\omega$ 的特征值估计。
• 通过前 $j$ 个特征向量的投影论证，对限制在无限簇 $\mathcal{C}_N^\omega$ 上的特征函数的 $L^2$-范数进行控制。
• 利用特征函数的 $\ell^2$-范数与导率下界 $\omega(x) \geq N^{-\varepsilon}$，建立随机游走在 $\mathcal{C}_N^\omega$ 上的谱间隙 $\mu_j$ 的下界。
• 使用不等式 $\lambda_i e^{-\lambda_i t} \leq \frac{1}{t} e^{-\frac{1}{2}\lambda_i t}$ 控制退火期望中的指数矩。
• 结合谱间隙与特征值衰减的估计，证明退火返回概率以速率 $t^{-\gamma}$ 衰减至零，其中 $\gamma < d/2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当导率在零附近具有多项式尾部且不具统一椭圆性时，退火返回概率 $\mathbb{Q}.\mathbb{P}^\omega[X_t = 0]$ 如何随时间衰减？
• RQ2 能否为有限环面上对称随机游走的谱间隙建立一个普适下界，以将 $N^{-2}$ 扩散标度与小导率的影响分离开来？
• RQ3 导率分布的尾部行为与退火返回概率 $t^{-\gamma}$ 中的衰减指数 $\gamma$ 之间有何关系？
• RQ4 当导率尾部厚重时，返回概率的 quenched 衰减与 annealed 衰减有何不同？
• RQ5 有限方块 $B_N$ 中最大连通分量在多大程度上能捕捉随机游走的行为？当 $N \to \infty$ 时，其密度如何变化？

主要发现

• 当导率在零附近具有多项式尾部时，退火返回概率以 $t^{-\gamma}$ 速率衰减，其中 $\gamma < d/2$，偏离了经典的 $t^{-d/2}$ 衰减行为。
• 为边长为 $N$ 的环面上的随机游走的谱间隙建立了普适下界，该下界独立于导率分布，从而将 $N^{-2}$ 扩散标度与其它效应分离开来。
• 原点所在无限簇 $\mathcal{C}_N^\omega \cap B_N$ 的期望密度在 $N \to \infty$ 时趋于 1，这为使用 $\mathcal{C}_N^\omega$ 作为全空间的代理提供了依据。
• 当 $\gamma$ 较小时，quenched 返回概率的衰减与 annealed 衰减存在差异，表明在 quenched 情形下无序效应更为显著。
• 在事件 $\Omega_N$ 上，谱间隙下界 $\mu_j \geq \left(\frac{j^{1/d}}{N}\right)^2 (\log N)^{-8(d-\eta)/d}$ 成立，该下界控制了最大分量的大小。
• 在条件 $\alpha < \frac{d}{2} \frac{1+\gamma}{1+d/2}$ 下，证明了退火返回概率以速率 $t^{-\gamma}$ 收敛至零，其中 $\gamma$ 与导率分布的尾指数相关。