[论文解读] On symmetries of constant mean curvature surfaces

Josef F. Dorfmeister, Guido Haak|ArXiv.org|Mar 14, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 19

一句话总结

本文研究了从单连通黎曼曲面到R³的共形常平均曲率（CMC）浸入的对称性，重点关注其万有覆叠的自同构群、黎曼曲面本身以及浸入曲面的空间对称性之间的相互作用。研究结果表明，在特定条件下，尤其是当浸入由DPW方法中的亚纯势能构造时，空间对称性可提升为万有覆叠上的双全纯自同构，并通过势能与单值性表示对这类对称性进行分类。

ABSTRACT

We start the investigation of immersions $Ψ$ of a simply connected domain $D$ into three dimensional Euclidean space $R^3$, which have constant mean curvature (CMC-immersions), and allow for a group of automorphisms of $D$ which leave the image $Ψ(D)$ invariant. On one hand, this leads to a detailed description of symmetric CMC-surfaces and the associated symmetry groups. On the other hand, it allows us to start the classification of CMC-immersions of an arbitrary, compact or noncompact Riemann surface $M$ into $R^3$ in terms of Weierstrass-type data, as introduced by Pedit, Wu, and one of the authors [D]. We use our general results to prove, that there are no CMC-tori or Delaunay surfaces in the dressing orbit of the cylinder. As an example, we apply the discussion to Smyth surfaces and to a CMC-surface with a branchpoint.

研究动机与目标

• 理解共形CMC浸入Ψ:D→R³的曲面空间对称群AutΨ(D)的结构。
• 将空间对称性与万有覆叠D及底层黎曼曲面M的双全纯自同构联系起来。
• 利用DPW方法与单值性表示，刻画空间对称性在何时可提升为AutΨ(D)中的自同构。
• 分析具有分支点及旋转对称性的例子，如Smyth曲面，以及具有极点或零点的亚纯势能所对应的对称性。

提出的方法

• 使用DPW方法，通过万有覆叠D上的亚纯联络与势能表示CMC浸入。
• 分析AutΨ(D)中自同构对度量与Hopf微分的变换性质，推导出对称性提升的必要条件。
• 应用单值性表示法，确定D的双全纯自同构在何时可提升为像曲面的空间等距变换。
• 考虑万有覆叠C，并构造具有旋转对称性的曲面的显式势能，如具有单个m阶脐点的曲面。
• 通过移除分支点集研究具有分支点的曲面，并分析在穿孔覆叠上诱导出的势能。
• 利用坐标变换（如w = e^w̃）将势能表示为万有覆叠上的形式，并确定初等群的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，万有覆叠D的双全纯自同构可提升为CMC曲面Ψ(D)的空间等距变换？
• RQ2 对于CMC浸入Φ:M→R³，自同构群AutM、AutD与AutΨ(D)之间有何关系？
• RQ3 单值性表示在确定CMC曲面对称性方面起到何种作用？
• RQ4 具有零点或极点的亚纯势能如何与空间对称性（如旋转对称或平移不变性）的存在相关联？
• RQ5 具有分支点的CMC曲面的初等群结构如何？其对万有覆叠上势能的影响是什么？

主要发现

• 当且仅当m=0且|c|≠1时，非退化的Smyth曲面存在，其中m为脐点的阶数，c为势能中的参数。
• 在C上，势能ξ=λ⁻¹((0 z−z₀; 1 0))dz给出一个具有单一分支点的非奇异CMC浸入，尽管f(z)=z−z₀并非亚纯函数的平方。
• 在万有覆叠上，势能变换为ξ̃=λ⁻¹((0 e²w̃; e^w̃ 0))dw̃，初等群由平移w̃↦w̃+2πi生成。
• 势能的单值性决定了D的双全纯自同构是否可提升为空间等距变换，其行为由自同构作用下势能的变化规律所决定。
• 对于具有分支点的曲面，通过指数映射拉回可获得在穿孔覆叠上的正确势能，其对应的单值性编码了对称群信息。
• 群AutΨ(D)同构于AutD中保持势能并能提升为空间等距变换的子群，从而将复分析对称性与几何对称性联系起来。