[论文解读] On symmetries of the Strassen algorithm

V. P. Burichenko|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文分析了斯特拉森矩阵乘法算法的对称性结构，证明其具有一个非平凡的自同构群，阶为36（扩展版本为72），同构于两个三阶对称群的直积。该庞大的对称群表明，3×3矩阵乘法的最优算法也可能表现出显著的对称性，为发现该算法提供了有前景的几何与群论策略。

ABSTRACT

We consider the famous Strassen algorithm for fast multiplication of matrices. We show that this algorithm has a nontrivial finite group of automorphisms of order 36 (namely the direct product of two copies of the symmetric group on 3 symbols), or even 72, if we consider "extended" Strassen algorithm. This is an indirect evidence that the (unknown at present) optimal algorithm for multiplication of two size 3 by 3 matrices also may have a large automorphism group, and this may be a fruitful idea for a search of such an algorithm. In the beginning we give a brief introduction to the subject, to make the text accessible for specialists in the representation theory of finite groups.

研究动机与目标

• 研究斯特拉森2×2矩阵乘法算法的自同构群，以揭示隐藏的对称性。
• 探讨斯特拉森算法中存在大型自同构群是否能为寻找3×3矩阵乘法的最优算法提供结构性线索。
• 推动在寻找最小乘法次数算法时使用群论与表示论方法。
• 确立斯特拉森算法的自同构群同构于 $ S_3 \times S_3 $，阶为36，扩展情况下为72。
• 提出未来寻找最优算法时应假设并利用大型自同构群作为指导原则。

提出的方法

• 将斯特拉森算法建模为向量空间 $ V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* \otimes V \otimes V^* $ 中的张量，其中 $ V $ 是二维向量空间。
• 定义集合 $ \widetilde{\mathcal{S}} $ 为塞列雷流形与两个特殊张量 $ -S(2,2,2) $ 和 $ \delta^\otimes 3 $ 的并集，分别代表斯特拉森成分与单位元成分。
• 将自同构群 $ \mathrm{Aut}(\widetilde{\mathcal{S}}) $ 定义为保持 $ \widetilde{\mathcal{S}} $ 作为集合不变的线性变换群。
• 使用拟投影分析自同构在子空间上的作用，识别出对张量因子诱导置换的约束。
• 证明自同构群由两组操作生成：$ \widetilde{A}_2, \widetilde{A}_3 $（置换并对偶化因子）与 $ \widetilde{B}_1, \widetilde{B}_2 $（作用于单个因子）。
• 通过稳定子与标量作用的详细分析，确立完整的自同构群同构于 $ S_3 \times S_3 $，阶为36，扩展情况下为72。

实验结果

研究问题

• RQ1 斯特拉森2×2矩阵乘法算法的自同构群的大小与结构是什么？
• RQ2 斯特拉森算法中存在大型自同构群是否能为寻找3×3矩阵乘法的最优算法提供启示？
• RQ3 是否存在由最优矩阵乘法算法保持的几何或群论不变量，可作为其构造的指导？
• RQ4 斯特拉森算法的自同构群是否同构于某个已知的有限群？若是，是哪一个？
• RQ5 斯特拉森算法的自同构群能否被扩展？这对其算法结构有何含义？

主要发现

• 斯特拉森算法的自同构群同构于 $ S_3 \times S_3 $，为阶为36的有限群。
• 在考虑扩展斯特拉森算法时，自同构群阶数增至72，表明存在额外的对称性。
• 自同构群通过置换与对偶性作用于算法底层张量表示的六个张量因子。
• 该群结构源于参与的二维向量空间上置换对称性与对偶映射之间的相互作用。
• 自同构群保持塞列雷流形以及两个特殊张量 $ -S(2,2,2) $ 和 $ \delta^\otimes 3 $ 不变，它们分别编码了算法与单位元成分。
• 完整的自同构群由四组操作生成：两组置换并对偶化张量因子，两组在单个因子上独立作用并具有标量自由度。