[论文解读] On Symmetry and Duality

Sebastian De Haro, Jeremy Butterfield|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 31被引用 2

一句话总结

本文提出了一种框架，将物理理论之间的对偶性视为其底层模型根（即剥离了诠释的共同核心理论）之间的同构。通过区分裸理论、模型和诠释，作者引入了三重对称性分类：规定性对称性、偶然性对称性和本征对称性。其核心贡献在于表明，只有当模型之间的同构尊重核心理论的结构时，对偶性才会保持对称性，从而解决了对称性在不同对偶表述间行为的模糊性问题。

ABSTRACT

Abstract: We advocate an account of dualities between physical theories: the basic idea is that dual theories are isomorphic representations of a common core. We defend and illustrate this account, which we call a Schema, in relation to symmetries. Overall, the account meshes well with standard treatments of symmetries. But the distinction between the common core and the dual theories prompts a distinction between three kinds of symmetry: which we call ‘stipulated’, ‘accidental’ and ‘proper’.

研究动机与目标

• 通过基于模型根同构的正式框架，澄清对偶性与物理理论中对称性之间的关系。
• 解决从裸理论到其模型时对称性如何被保留或丢失的理论模糊性问题。
• 基于对理论及其模型的关系，区分四类对称性——规定性、偶然性、本征和非本征对称性。
• 证明对偶性仅在模型之间的同构尊重共同核心理论的结构性不变性时，才会保持对称性。
• 提供一个系统性框架，利用群论和表示论工具分析量子场论与时空理论中的对偶性。

提出的方法

• 将‘裸理论’定义为剥离了诠释的理论，作为对偶模型的共同核心。
• 引入‘模型根’作为裸理论的同构表示，其中‘特定结构’捕捉了模型的物理内容。
• 使用群同态和自同构来建模裸理论的对称性在模型中是否被实现。
• 通过矩阵群表示和伽利略变换等例子，应用该框架以阐明不同对称性之间的区别。
• 构造一个反例，使用二面体群 D4 及其商群 C2，说明裸理论的对称性可能因图示不交换而无法在模型中实现。
• 利用模型理论的区分，阐明三类对称性——规定性（内置于理论中）、偶然性（在模型中偶然实现）和本征性（属于模型但不属于理论）——的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种保持结构和动力不变性的形式化方式表征物理理论之间的对偶性？
• RQ2 在何种意义上可以认为对偶理论是同构的？共同核心（裸理论）在这一同构中起什么作用？
• RQ3 裸理论的对称性与其实例模型的对称性之间有何关系？在什么情况下它们被保留或丢失？
• RQ4 在对偶模型及其底层理论的语境下，规定性、偶然性和本征对称性有何区别？
• RQ5 该框架在多大程度上解释了‘巨大对称性’直觉——即对偶性是理论之间的一种对称性？

主要发现

• 对偶性最好理解为同一裸理论的模型之间的同构，其中裸理论是无结构、无诠释的核心。
• 裸理论与模型之间的区分使得对称性可被三重分类：规定性（内置于理论中）、偶然性（在模型中偶然实现）和本征性（属于模型但不属于理论）。
• 裸理论的对称性可能无法在模型中实现，如 D4 与其商群 C2 的反例所示，其中 D4 的自同构无法下降为 C2 上明确定义的自同构。
• 该框架确保只有当模型根之间的同构尊重核心理论的结构时，对偶性才会保持对称性，从而避免虚假的对称性破缺。
• 该框架成功调和了标准对称性处理方式与对偶性为模型根同构的新型观点，而不仅仅是形式映射。
• 将该框架应用于二维量子场论中的玻色化，证实了对偶模型（费米子型与玻色子型）是同一无限维代数核心的同构实现。