[论文解读] On syntomic regulators I: constructions

Wiesława Nizioł|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文从p-进K-理论构造对数syntomic陈类至对数syntomic上同调，将经典syntomic示踪器推广至具有法向交叉除子的概形。它建立了与加法、乘法、λ-运算、Gysin序列以及到étale上同调的周期映射的相容性，利用syntomic上同调与p-进邻近周期之间的最新比较结果。

ABSTRACT

We show that classical Chern classes from higher ($p$-adic) $K$-theory to syntomic cohomology extend to logarithmic syntomic cohomology. These Chern classes are compatible -- in a suitable sense -- with addition, products, and $λ$-operations. They are also compatible with the canonical Gysin sequences and, via period maps, with logarithmic étale Chern classes. Moreover, they induce logarithmic crystalline Chern classes. This uses as a critical new ingredient the recent comparison of syntomic cohomology with $p$-adic nearby cycles and $p$-adic motivic cohomology.

研究动机与目标

• 将经典syntomic示踪器推广至具有法向交叉除子的概形的对数设定。
• 确保这些示踪器与代数运算（加法、乘法、λ-运算）的相容性。
• 建立与关联于除子的Gysin序列及与étale上同调的周期映射的相容性。
• 构造一个对数版本的syntomic陈类，通过p^{mi}的扭化插值经典陈类。
• 为后续工作中将正则概形的结果推广至具有法向交叉紧化结构的开概形奠定基础。

提出的方法

• 通过Frobenius与乘以p^i在晶体上同调上的差的锥来定义对数syntomic上同调。
• 构造截断syntomic上同调与syntomic-étale上同调，以处理挠子与对偶性。
• 将syntomic上同调与p-进邻近周期之间的比较同构（来自[6]）作为关键的技术输入。
• 通过经典syntomic类的扭化版本定义对数陈类，缩放因子为p^{mi}（m ≥ N）。
• 利用投影公式与syntomic上同调中的同伦不变性，建立与Gysin序列的相容性。
• 通过利用Fontaine-Messing周期映射与陈类的通用多项式，证明涉及周期映射至étale上同调的图表的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将来自K-理论到syntomic上同调的经典syntomic陈类扩展至对数设定？
• RQ2 这些对数陈类与Gysin序列及代数运算的精确相容性是什么？
• RQ3 通过对数syntomic陈类如何通过周期映射与étale陈类关联？
• RQ4 新类在何种意义上与K-理论中的λ-运算和乘法相容？
• RQ5 syntomic上同调与p-进邻近周期之间的比较在构造这些类时起什么作用？

主要发现

• 本文构造了对数syntomic陈类的函子性、相容性族 $\overline{c}^\text{syn}_{ij}: K_j(U, \mathbb{Z}/p^n) \to H^{2i-j}_\text{syn}(X, \mathcal{S}'_n(i)) $，其中 $j \geq 2$，且 $m \geq N$。
• 这些陈类相对于经典syntomic陈类通过 $p^{mi}$ 扭化，确保与 $\gamma$-滤子和 $\lambda$-运算的相容性。
• 陈类与关联于除子 $D$ 的典范Gysin序列相容，通过涉及 $i_*$、$j^*$ 和 $\partial$ 的图表得以证明。
• 通过Fontaine-Messing周期映射 $\alpha_{*,*}$，涉及 $\overline{c}^\text{syn}_{ij}$ 与 $p^{(m+1)i}\overline{c}^\text{ét}_{ij}$ 的图表交换，将syntomic与étale示踪器联系起来。
• 通过周期映射与p-进motivic上同调的比较同构，该构造诱导出对数晶体陈类。
• 通过使用通用多项式 $P_i$ 与恒等式 $\overline{p}^{\text{syn},m}_{b,2b-a} = (1-b)\overline{c}^{\text{syn},m}_{b-1,2b-a}$ 的形式计算，建立了与Gysin序列的相容性，该恒等式在条件 $2b-a \geq 3$ 且 $p^n > 2$ 下成立。