[论文解读] On systems with finite ergodic degree

Stefano Isola|ArXiv.org|Aug 4, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用 19

一句话总结

本文引入了熵度 $ d $ 的概念以对非可 summable 变分势的系统进行分类，证明当 $ d > 0 $ 时，平衡测度的混合速率以 $ n^{-d} $ 的形式多项式衰减；而当 $ d \leq 0 $ 时，不变测度为无穷大，其缩放速率为 $ n^d $。分析采用诱导过程与算子值幂级数，将谱性质与动力 zeta 函数及相关性衰减联系起来。

ABSTRACT

In this paper we study the ergodic theory of a class of symbolic dynamical systems $(Ø, T, μ)$ where $T:Ø o Ø$ the left shift transformation on $Ø=\prod_0^\infty\{0,1\}$ and $μ$ is a $\s$-finite $T$-invariant measure having the property that one can find a real number $d$ so that $μ(τ^d)=\infty$ but $μ(τ^{d-ε})0$, where $τ$ is the first passage time function in the reference state 1. In particular we shall consider invariant measures $μ$ arising from a potential $V$ which is uniformly continuous but not of summable variation. If $d>0$ then $μ$ can be normalized to give the unique non-atomic equilibrium probability measure of $V$ for which we compute the (asymptotically) exact mixing rate, of order $n^{-d}$. We also establish the weak-Bernoulli property and a polynomial cluster property (decay of correlations) for observables of polynomial variation. If instead $d\leq 0$ then $μ$ is an infinite measure with scaling rate of order $n^d$. Moreover, the analytic properties of the weighted dynamical zeta function and those of the Fourier transform of correlation functions are shown to be related to one another via the spectral properties of an operator-valued power series which naturally arises from a standard inducing procedure. A detailed control of the singular behaviour of these functions in the vicinity of their non-polar singularity at $z=1$ is achieved through an approximation scheme which uses generating functions of a suitable renewal process. In the perspective of differentiable dynamics, these are statements about the unique absolutely continuous invariant measure of a class of piecewise smooth interval maps with an indifferent fixed point.

研究动机与目标

• 对具有非可 summable 变分势的符号动力系统之遍历与混合性质进行表征。
• 定义并分析熵度 $ d $ 作为控制首次通过时间函数有限矩数量的连续参数。
• 为无限不变测度（$ d \leq 0 $）建立精确的渐近缩放速率，为有限平衡测度（$ d > 0 $）建立混合速率。
• 将动力 zeta 函数与相关函数的奇异性行为与通过诱导过程导出的算子值幂级数的谱性质联系起来。
• 将该框架应用于具有非吸引不动点的区间映射，恢复并改进已知的关于混合与缩放行为的结果。

提出的方法

• 引入作用于局部 Hölder 连续函数上的算子值幂级数 $ \mathcal{M}_z $，其谱性质与原系统的转移算子相关。
• 使用标准诱导过程构造 $ \sigma $-有限不变测度 $ \mu $，其中熵度 $ d $ 由 $ \mu(\tau^d) $ 的发散阈值定义。
• 应用更新过程近似以控制 $ (1 - \mathcal{M}_z)^{-1} $ 在 $ z \uparrow 1 $ 时的渐近行为，将其与通过时间生成函数关联。
• 通过 $ \mathcal{M}_z $ 的谱分析，建立相关函数的傅里叶变换与动力 zeta 函数之间的对应关系。
• 运用 Tauber 定理于幂级数，从 $ z = 1 $ 附近的性质推导出相关序列与 zeta 函数的精确渐近行为。
• 将理论应用于具有非吸引不动点的区间映射，通过导数变差的显式估计计算出 $ d = \frac{1}{s} - 1 $，并改进缩放律。

实验结果

研究问题

• RQ1 熵度 $ d $ 如何控制非可 summable 变分势系统中相关性与混合速率的衰减？
• RQ2 此类系统中首次通过时间分布及其矩的精确渐近行为是什么？
• RQ3 动力 zeta 函数的奇点与相关函数的傅里叶变换如何与诱导转移算子的谱性质相关联？
• RQ4 诱导过程与更新近似在多大程度上可用于推导无限不变测度的精确缩放律？
• RQ5 熵度对有限测度情形下弱 Bernoulli 性质与相关性多项式衰减有何影响？

主要发现

• 当 $ d > 0 $ 时，唯一的非原子平衡概率测度的混合速率阶为 $ n^{-d} $，可观测量具有多项式变分时，相关性呈多项式衰减。
• 当 $ d > 0 $ 时，系统满足弱 Bernoulli 性质，确认尽管非指数混合，仍表现出强随机行为。
• 当 $ d \leq 0 $ 时，不变测度为无穷大，且 $ \mu(E \cap T^{-n}E) $ 的缩放速率渐近为 $ n^d $，其中精确渐近为：$ s > 1 $ 时 $ \sim c_1 n^{-1+1/s} $，$ s = 1 $ 时 $ \sim c_2 (\log n)^{-1} $，$ 0 < s < 1 $ 时 $ \sim c_3 n^{1-1/s} $。
• 动力 zeta 函数在 $ z = 1 $ 处具有非极奇点，其行为由近似更新过程的生成函数决定。
• 对于在 0 附近满足 $ G(x) \sim x^s $ 的区间映射，熵度为 $ d = \frac{1}{s} - 1 $，且对于 Hölder 指数 $ \gamma \geq 1 - s $ 的可观测量，混合速率为 $ \mathcal{O}(n^{1-1/s}) $。
• 渐近等价式 $ \rho(A_n) \sim h(0) r (r s n)^{-1 - 1/s} $ 允许进行精确的 Tauber 分析，从而得出相关序列的精确幂律或对数衰减。