[论文解读] On SZK and PP.

Adam Bouland, Lijie Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文通过改进近似度的硬度放大定理，建立了非交互式统计零知识（NISZK）与无界误差随机查询和通信复杂度（UPP）之间的新分离关系。该研究解决了Watrous（2002）提出的一个开放问题，构造了一个预言机，使得NISZK不被包含于PP中，并进一步展示了PZK与coPZK之间、SZK与PZK之间的分离关系，其结果对属性测试和流式证明具有重要意义。

ABSTRACT

In both query and communication complexity, we give separations between the class NISZK, containing those problems with non-interactive statistical zero knowledge proof systems, and the class UPP, containing those problems with randomized algorithms with unbounded error. These results significantly improve on earlier query separations of Vereschagin [Ver95] and Aaronson [Aar12] and earlier communication complexity separations of Klauck [Kla11] and Razborov and Sherstov [RS10]. In addition, our results imply an oracle relative to which the class NISZK is not contained in PP. This answers an open question of Watrous from 2002 [Aar]. The technical core of our result is a stronger hardness amplification theorem for approximate degree, which roughly says that composing the gapped-majority function with any function of high approximate degree yields a function with high threshold degree. Using our techniques, we also give oracles relative to which the following two separations hold: perfect zero knowledge (PZK) is not contained in its complement (coPZK), and SZK (indeed, even NISZK) is not contained in PZK (indeed, even HVPZK). Along the way, we show that HVPZK is contained in PP in a relativizing manner. We prove a number of implications of these results, which may be of independent interest outside of structural complexity. Specifically, our oracle separation implies that certain parameters of the Polarization Lemma of Sahai and Vadhan [SV03] cannot be much improved in a black-box manner. Additionally, it implies new lower bounds for property testing algorithms with error probability arbitrarily close to 1/2. Finally, our results imply that two-message protocols in the streaming interactive proofs model of Cormode et al. [CTY11] are surprisingly powerful in the sense that, with just logarithmic cost, they can compute functions outside of UPP^CC.

研究动机与目标

• 为解决Watrous（2002）提出的开放问题：在预言机环境下，NISZK是否被包含于PP中。
• 在NISZK与UPP之间的查询和通信复杂度分离关系上，超越先前的研究成果。
• 在预言机环境下，建立完美零知识（PZK）与其补集（coPZK）之间，以及SZK与PZK之间的新分离关系。
• 分析极化引理在黑箱环境下的局限性，并推导出高误差下属性测试的新的下界。
• 探索两轮流式交互证明协议在对数成本下的计算能力。

提出的方法

• 提出一个更强的近似度硬度放大定理，证明将间隙多数函数与任意高近似度函数复合后，可得到具有高阈值度的函数。
• 利用该放大的硬度，构建NISZK与UPP之间的查询和通信复杂度分离关系。
• 利用阈值度结果，构造预言机，使得NISZK不被包含于PP中，且PZK不被包含于coPZK中。
• 证明HVPZK在相对化意义下被包含于PP中，从而支持进一步的分离关系。
• 将该框架应用于证明：对数成本的两轮流式协议可计算UPP^CC之外的函数。
• 通过分析黑箱构造的极限，推导出极化引理和属性测试的含义。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在预言机环境下将NISZK与PP分离，从而解决2002年提出的开放问题？
• RQ2 能否在NISZK与UPP之间实现强于先前已知的查询和通信复杂度分离关系？
• RQ3 在预言机环境下，完美零知识（PZK）是否严格包含于其补集（coPZK）中？
• RQ4 在预言机模型中，SZK是否严格强于PZK？
• RQ5 当错误概率趋近于1/2时，极化引理和属性测试算法存在哪些局限性？

主要发现

• 构造了一个预言机，使得NISZK不被包含于PP中，从而解决了Watrous（2002）提出的开放问题。
• 本文提出了一个更强的近似度硬度放大定理，证明将间隙多数函数与任意高近似度函数复合后，可得到具有高阈值度的函数。
• 在预言机环境下，首次展示了PZK与coPZK之间、SZK与PZK之间的新分离关系。
• 证明HVPZK在相对化意义下被包含于PP中，支持了上述分离关系。
• 结果表明，对数成本的两轮流式协议可计算UPP^CC之外的函数，显示出其出乎意料的强大能力。
• 推导出错误概率可任意接近1/2的属性测试算法的新下界，并表明极化引理的参数在黑箱设置下几乎是最优的。