[论文解读] On Tamed Euler Approximations of SDEs Driven by Lévy Noise with Applications to Delay Equations

Konstantinos Dareiotis, Chaman Kumar+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Mar 3, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出针对具有超线性增长漂移系数的 Lévy 过程驱动的随机微分方程（SDEs）的驯化 Euler 格式，将驯化技术扩展至处理跳跃。在局部 Lipschitz 条件下建立了强 $\mathcal{L}^q$ 收敛性，并在全局和多项式 Lipschitz 假设下提供了收敛速率结果，进一步将该框架扩展至具有非马氏、时滞动力学的随机时滞微分方程（SDDEs）。

ABSTRACT

We extend the taming techniques for explicit Euler approximations of stochastic differential equations (SDEs) driven by Lévy noise with super-linearly growing drift coefficients. Strong convergence results are presented for the case of locally Lipschitz coefficients. Moreover, rate of convergence results are obtained in agreement with classical literature when the local Lipschitz continuity assumptions are replaced by global and, in addition, the drift coefficients satisfy polynomial Lipschitz continuity. Finally, we further extend these techniques to the case of delay equations.

研究动机与目标

• 解决当漂移系数超线性增长时，标准 Euler 格式在 Lévy 噪声驱动的 SDE 中缺乏强收敛性的问题。
• 将此前仅用于扩散 SDE 的驯化技术扩展至 Lévy 噪声驱动的 SDE，实现此类方程的数值逼近。
• 在局部 Lipschitz 系数条件下，建立 SDE 的强 $\mathcal{L}^q$ 范数收敛性，并在全局和多项式 Lipschitz 条件下推导收敛速率。
• 将驯化 Euler 框架扩展至具有非时滞与时滞变量中均含超线性漂移的 Lévy 噪声驱动的随机时滞微分方程（SDDEs）。
• 在仅对非时滞变量施加弱化局部 Lipschitz 条件下，提供 SDDE 的解的存在性与唯一性结果，优于现有文献。

提出的方法

• 通过引入驯化函数修改漂移系数，防止其爆炸性增长，从而确保数值格式的稳定性。
• 将 [21] 中的驯化技术应用于 Lévy 噪声驱动的 SDE，基于漂移系数范数的倒数构建截断机制。
• 在时间区间上采用解过程的分段常数近似，其中驯化漂移项依赖于前一时刻的状态。
• 通过时间区间的递归论证证明收敛性，依赖于矩界和 Gronwall 型不等式。
• 采用 [7] 的方法将时滞方程与随机系数 SDE 联系起来，从而实现驯化格式向 SDDE 的扩展。
• 利用 Hölder 不等式、矩估计和归纳法控制真实解与驯化格式之间的误差。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将驯化 Euler 格式扩展至具有超线性增长漂移系数的 Lévy 噪声驱动 SDE，其中标准 Euler 格式无法收敛？
• RQ2 漂移、扩散和跳跃系数需满足何种条件，才能保证 Lévy 噪声驱动 SDE 的驯化 Euler 格式的强 $\mathcal{L}^q$ 收敛性？
• RQ3 当对系数施加全局和多项式 Lipschitz 条件时，驯化 Euler 格式的收敛速率是多少？
• RQ4 驯化框架能否适应具有跳跃且在时滞与非时滞分量中均含超线性漂移的随机时滞微分方程（SDDE）？
• RQ5 在何种弱化正则性条件下——特别是仅在非时滞变量中满足局部 Lipschitz 连续性——可建立具有 Lévy 噪声的 SDDE 解的存在性与唯一性？

主要发现

• 在漂移、扩散和跳跃系数满足单边局部 Lipschitz 和局部 Lipschitz 条件下，驯化 Euler 格式对 Lévy 噪声驱动的 SDE 实现了强 $\mathcal{L}^q$ 收敛。
• 对于全局 Lipschitz 和多项式 Lipschitz 漂移系数，该格式在 $\mathcal{L}^q$ 范数下达到 $O(n^{-1/2})$ 的收敛速率，与经典结果一致。
• 该方法被扩展至在非时滞和时滞变量中均含超线性漂移的 SDDE，其系数满足单边 Lipschitz 和多项式 Lipschitz 条件。
• 在全局和多项式 Lipschitz 假设下，SDDE 的收敛速率为 $O(n^{-1/2})$。
• 本文证明了在仅对非时滞变量要求局部 Lipschitz 连续性、时滞变量连续的弱化条件下，SDDE 的解存在且唯一。
• 数值实验验证了理论收敛速率：对于 SDE (78)，$\mathcal{L}^2$ 误差随步长 $h = 2^{-k}$ 约为 $O(n^{-1/2})$ 的下降趋势，SDDE (79) 也表现出类似行为。