[论文解读] On Teichmuller Space of Surface with Boundary

Feng Luo|ArXiv.org|Jan 15, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过使用理想三角剖分中直角双曲六边形导出的 E-不变量，提出了一种新的紧致双曲曲面（带边）的边界 Teichmüller 空间参数化方法。关键结果是：在固定边界长度下，Teichmüller 空间在 E-不变量坐标下成为开凸多面体，且当 E-不变量满足由线性规划对偶性导出的正性和三角不等式时，双曲度量的存在性得到保证。

ABSTRACT

We characterization hyperbolic metrics on compact surfaces with boundary using a variational principle. As a consequence, a new parametrization of the Teichmuller space of compact surface with boundary is produced. In the new parametrization, the Teichmuller space becomes an open convex polytope. It is conjectured that the Weil-Petersson symplectic form can be expressed explicitly in terms of the new coordinate.

研究动机与目标

• 为具有非空边界和固定边界长度的紧致双曲曲面的 Teichmüller 空间开发一种新的坐标系。
• 基于直角双曲六边形的余弦定律，通过变分原理刻画双曲度量。
• 证明在新的 E-不变量坐标下，边界 Teichmüller 空间微分同胚于一个开凸多面体。
• 利用线性规划中的对偶性，建立双曲度量存在性的必要与充分条件。

提出的方法

• 为理想三角剖分中每条边定义 E-不变量：其值为对边 x-弧长度之和的一半，减去对面边的长度。
• 利用由 polylogarithm 函数和直角双曲六边形余弦定律导出的能量函数，对 Teichmüller 空间进行参数化。
• 应用变分原理：双曲度量对应于在由 E-不变量定义的凸区域上，能量函数的临界点。
• 建立双曲度量与满足正性和三角不等式类型的 E-不变量函数之间的一一对应关系。
• 利用线性规划对偶性和 Farkas 引理，证明解空间非空当且仅当 E-不变量在所有本质简单闭曲线上的取值为正。
• 证明允许的 E-不变量空间在 R^m 中构成一个开凸多面体，其中 m 为三角剖分中边的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过理想三角剖分中的几何不变量，显式参数化紧致双曲曲面（带边）的边界 Teichmüller 空间？
• RQ2 E-不变量需满足何种条件，才能保证具有这些不变量的双曲度量存在？
• RQ3 基于直角双曲六边形余弦定律的变分原理，如何刻画带边曲面上的双曲度量？
• RQ4 在 E-不变量参数化下，固定边界长度的边界 Teichmüller 空间是否微分同胚于一个开凸多面体？
• RQ5 如猜想所示，Weil-Petersson 拉格朗日形式能否显式地用新 E-不变量坐标表示？

主要发现

• 在固定边界长度 l 下，边界 Teichmüller 空间 T(S,l) 微分同胚于 R^m 中的一个开凸多面体，其中 m 为理想三角剖分中边的数量。
• 曲面上存在双曲度量当且仅当 E-不变量满足由每个六边形单元中的类三角关系导出的不等式组。
• 由多 polylogarithm 函数和余弦定律构造的能量函数 V，在解空间的闭包上达到最大值，且最大值位于内部当且仅当存在双曲度量。
• E-不变量系统存在解，当且仅当对所有非零向量 y 属于测度 lamination 的锥 D，有线性泛函 ∑ y_i z_i > 0。
• E-不变量参数化为边界 Teichmüller 空间提供了一套新的、显式的、具有几何意义的坐标系，推广了 Leibon 对闭曲面的工作。
• 允许的 E-不变量空间由直角双曲六边形的几何性质和三角剖分结构导出的线性不等式所刻画。