[论文解读] On Temporally Connected Graphs of small cost

Eleni C. Akrida, Leszek Gąsieniec+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2015

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 6

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于验证无向图中的时序连通性，并提出了一种成本效益高的方法，以最小标签使用量设计时序连通图。证明了设计成本与 n 线性相关，接近最优（与最优值相差不超过 2），并表明移除冗余标签是 APX-难的，意味着除非 P=NP，否则不存在多项式时间近似方案。

ABSTRACT

We study the design and verification of temporal graphs that are temporally connected. We mainly consider undirected graphs of $n$ vertices and follow the model of \cite{kempe}, where each edge has an associated set of discrete availability instances (labels). A journey from vertex $u$ to vertex $v$ is a path from $u$ to $v$ where successive path edges have strictly increasing labels. A graph is temporally connected iff there is a $(u,v)$-journey for any pair of vertices $u,v$. We first give a simple polynomial-time algorithm to check whether a given temporal graph is temporally connected. We then consider the case in which a designer can \emph{freely choose} availability instances for all edges and aims for temporal connectivity a very small \emph{cost}; the cost here is the total number of availability instances used. We achieve this via a simple polynomial-time procedure which derives designs of cost linear in $n$, and at most the optimal cost plus $2$. To show this, we prove a lower bound on the cost for any undirected Next, we consider the case in which a designer could only choose among a pre-specified set of availability instances. She comes to us and says with those availability instances I deliver a temporally connected graph. Here, we first have to verify the correctness of the design. Then our aim is to decrease the cost by removing some labels without destroying temporal connectivity (redundant labels). Our main technical result is that computing the maximum number of labels that are redundant is APX-hard, i.e., there is no PTAS unless $P=NP$. On the other hand, a temporal design may be i.e. all its labels may be needed for temporal connectivity. We partially characterise minimal temporal designs.

研究动机与目标

• 开发一种高效算法，用于验证时序图中的时序连通性。
• 在确保时序连通性的前提下，最小化边可用实例（标签）的总数。
• 确定在不破坏连通性的情况下移除冗余标签的计算复杂度。
• 表征最小的时序设计，其中所有标签对连通性均必不可少。

提出的方法

• 通过验证所有顶点对之间是否存在标签严格递增的行程，一种多项式时间算法用于检查时序连通性。
• 一种简单过程可使用 O(n) 个标签构造时序连通图，实现接近最优的成本，与理论最小值相差不超过 2。
• 推导出无向图中最小可能成本的下界，以建立最优性保证。
• 通过从已知的 NP-难问题约化，证明了识别最多冗余标签数量的问题是 APX-难的。
• 提供了最小时序设计的部分表征，识别出所有标签均必不可少的图的结构特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无向图中，实现时序连通性所需的最少标签数量是多少？
• RQ2 我们能否使用多项式时间过程设计出成本接近最优的时序连通图？
• RQ3 移除冗余标签的问题在计算上是否可行，还是 NP-难的？
• RQ4 在何种条件下，时序图中的每个标签对连通性都是必不可少的？
• RQ5 我们能否高效验证给定时序图设计是否具有时序连通性？

主要发现

• 存在一种多项式时间算法，可用于验证时序图中的时序连通性。
• 可在多项式时间内构造出使用 O(n) 个标签的图设计，其成本最多比最优成本多 2。
• 无向图中时序连通性的最小成本受到下界约束，确立了理论极限。
• 最大化冗余标签移除的问题是 APX-难的，意味着除非 P=NP，否则不存在多项式时间近似方案。
• 存在时序图，其中每个标签对连通性都是必要的，证实了最小设计确实存在，且其识别具有非平凡性。