[论文解读] On Testing Minor-Freeness in Bounded Degree Graphs With One-Sided Error.

Hendrik Fichtenberger, Reut Levi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对有界度图中 H-无子图性的单边错误性质测试算法，其中 H 是任意 (k×2)-网格的子图。通过分析图的结构以检测包含 H 的小型子图或连接顶点子集之间的大边割，该算法实现了 Õ(n²³/ε⁵) 的查询复杂度，扩展了关于无环性和 Cₖ-无子图性的先前结果。

ABSTRACT

We present a one-sided error property testing algorithm for $H$-minor freeness in bounded-degree graphs for any minor $H$ that is a minor of the $(k imes 2)$-grid (for any $k \in \mathbb{N}$). This includes, for example, testing whether a graph is a cactus graph and testing minor-freeness for minors which are cycles with parallel chords. The query complexity of our algorithm in terms of the number of vertices in the graph, $n$, is $ ilde{O}(n^{2/3} / \epsilon^5)$. Czumaj et al. showed that cycle-freeness and $C_k$-minor freeness can be tested with query complexity $ ilde{O}(\sqrt{n})$. In contrast to these results, we analyze the structure of the graph and show that either we can find a subgraph of sublinear size that includes the forbidden minor, $H$, or we can find a pair of disjoint subsets of vertices whose edge-cut is large, and such that the induced subgraph of each subset is connected. We then prove a combinatorial lemma which shows that the latter structure includes $H$ as a minor.

研究动机与目标

• 为有界度图中的 H-无子图性开发一种单边错误性质测试算法，其中 H 是任意 k∈ℕ 的 (k×2)-网格的子图。
• 将关于无环性和 Cₖ-无子图性的现有结果扩展到更广泛的子图类别。
• 在保持单边错误的同时，实现 H-无子图性测试的亚线性查询复杂度。
• 提供图的组合特征刻画，这些图要么包含 H 作为子图，要么表现出暗示 H-无子图性存在的结构特征。

提出的方法

• 该算法分析图的结构，以检测包含禁止子图 H 的次线性大小子图，或一对具有大边割的不相交顶点子集。
• 它在顶点对的每个子集上识别连通诱导子图，以确保子图检测的结构鲁棒性。
• 证明了一个关键的组合引理，表明如果在连通诱导子图之间存在如此大的边割，则 H 必为图的子图。
• 该算法使用递归或迭代探索策略，以定位包含 H 的小型子图，或验证结构对的存在。
• 通过针对有界度图定制的概率采样和局部探索技术，对查询复杂度进行界定。
• 该方法通过推广 Czumaj 等人关于无环性的结果，将其扩展到更广泛的子图类别。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在有界度图中为非仅限于环或简单结构的禁止子图 H 实现 H-无子图性的单边错误性质测试？
• RQ2 图的何种结构特征暗示了禁止子图 H 的存在，以及如何高效地测试这些特征？
• RQ3 当 H 是 (k×2)-网格的子图时，是否可能实现 H-无子图性测试的亚线性查询复杂度？
• RQ4 在有界度图中，两个连通顶点子集之间存在大边割，这与子图包含性有何关系？
• RQ5 能否构建一个组合引理，基于图的结构特征来证明子图的存在性？

主要发现

• 该算法在测试 H-无子图性时实现了 Õ(n²³/ε⁵) 的查询复杂度，其中 H 是任意 (k×2)-网格的子图。
• 该方法成功将先前关于无环性和 Cₖ-无子图性的结果（其查询复杂度为 Õ(√n)）推广到更广泛的子图类别。
• 在两个连通诱导子图之间存在大边割，意味着图包含 H 作为子图，这一结论由一个新组合引理形式化。
• 该算法仅使用单边错误即可区分包含 H 作为子图的图与 H-无子图的图。
• 该方法依赖于检测包含 H 的小型子图，或具有大边割的连通子集对，这两者均可通过亚线性查询进行测试。
• 该结果表明，可以利用图的结构分解来设计有界度图中闭合子图性质的高效性质测试器。