[论文解读] On the 1-3-5 conjecture and related topics

Hai-Liang Wu, Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过使用三元二次型和模形式，推进了1-3-5猜想，证明了足够大的整数可以表示为满足变量线性约束的四个平方和。关键结果包括：任何不被16整除的足够大整数可表示为 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$，其中 $x+3y+5z \in \{1,4\}$；所有足够大的整数均可在特定线性条件（如 $x+2y+w=1$）下表示为 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$。该工作利用深刻的数论工具，显著推进了孙智伟1-3-5猜想的整数版本。

ABSTRACT

The 1-3-5 conjecture of Z.-W. Sun states that any $n\in\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}$ can be written as $x^2+y^2+z^2+w^2$ with $w,x,y,z\in\mathbb N$ such that $x+3y+5z$ is a square. In this paper, via the theory of ternary quadratic forms and related modular forms, we study the integer version of the 1-3-5 conjecture and related weighted sums of four squares with certain linear restrictions. Here are two typical results in this paper: (i) There is a finite set $A$ of positive integers such that any sufficiently large integer not in the set $\{16^ka:\ a\in A,\ k\in\mathbb N\}$ can be written as $x^2+y^2+z^2+w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+3y+5z\in\{4^k:\ k\in\mathbb N\}$. (ii) Any positive integer can be written as $x^2+y^2+z^2+2w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+y+2z+2w=1$. Also, any sufficiently large integer can be written as $x^2+y^2+z^2+2w^2$ with $x,y,z,w\in\mathbb Z$ and $x+2y+3z=1$.

研究动机与目标

• 解决孙智伟1-3-5猜想的整数版本，该猜想提出每个非负整数均可表示为四个平方和，且 $x+3y+5z$ 为完全平方数。
• 扩展孙近期关于带线性约束的四平方加权和的猜想，特别是针对 $x^2 + y^2 + 2w^2$ 和 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ 等形式。
• 确立足够大整数可表示为平方和且特定变量线性组合等于1的条件。
• 应用 $3/2$ 重量的三元二次型与模形式理论，证明在受控线性约束下的可表示性结果。

提出的方法

• 利用正则型与类正则型三元二次型理论分析整数的表示问题。
• 应用类理论与自旋例外类理论，确定哪些整数可被给定型表示。
• 使用 $3/2$ 重量的模形式推导足够大整数的渐近密度与可表示性结果。
• 运用欧拉四平方恒等式与代数恒等变形，转换在特定线性约束下的表示形式。
• 通过 $p$-进表示与哈塞-闵可夫斯基定理应用局部-整体原理，将整体表示问题约化。
• 采用同余条件与变量代换（如 $r_0 = 99u - 22s + s_0$）构造满足线性方程 $x+2y+w=1$ 等的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个足够大的整数是否可表示为 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$，其中 $x+3y+5z \in \{1,4\}$？
• RQ2 所有大整数是否可表示为 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$，且满足 $x+2y+w=1$、$y+z+w=1$ 或 $y+2z+w=1$？
• RQ3 当线性型 $x+3y+5z$ 限制为4的幂时，1-3-5猜想是否对所有正整数成立？
• RQ4 能否证明对所有 $n$（而不仅大整数）均成立：任意正整数可表示为四个平方和，且 $x+3y+5z$ 为完全平方数？
• RQ5 是否存在有限多个整数无法表示为 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$ 且满足 $x+3y+5z \in \{4^k\}$，且这些例外是否可显式描述？

主要发现

• 任何满足 $16 \nmid n$ 的足够大整数 $n$ 均可表示为 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$，其中 $x+3y+5z \in \{1,4\}$，为1-3-5猜想提供了强有力证据。
• 存在一个正整数的有限集合 $A$，使得所有不属 $\{16^k a : a \in A, k \in \mathbb{N}\}$ 的足够大整数均可表示为 $x^2 + y^2 + z^2 + w^2$，其中 $x+3y+5z \in \{4^k : k \in \mathbb{N}\}$。
• 任何足够大的整数 $n$ 均可表示为 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$，且满足 $x+2y+w=1$、$y+z+w=1$ 或 $y+2z+w=1$，证实了孙猜想的特例。
• 对于 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$，所有大整数均可表示为满足 $x+2y+w=1$、$y+z+w=1$ 或 $y+2z+w=1$ 的形式，且通过模形式与同余代换给出了显式构造。
• 任何大整数 $n$ 均可表示为 $x^2 + y^2 + 2w^2$，其中 $x+\mu y + \nu z = 1$，且 $(\mu,\nu) \in \{(2,3),(2,5),(3,4)\}$，扩展了孙关于加权平方和的猜想。
• 本文证明了 $x^2 + y^2 + 3z^2 + 4w^2$ 可表示所有大整数，且满足 $y+z+2w=1$，且 $x^2 + y^2 + 2z^2 + 3w^2$ 在 $y+2z+3w=1$ 条件下亦可表示所有大整数，证实了更多猜想情形。