[论文解读] On the 1+3 Formalism in General Relativity

Xavier Le Roy|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文提出了一种广义相对论中的完整1+3形式体系，沿类时曲线的族对时空进行分解，即使在涡度导致空间框架无法形成超曲面的情况下，也推导出空间框架下的高斯、Codazzi和Ricci方程。该形式体系导出了一套与爱因斯坦场方程等价的完整约束方程与演化方程，其表达式以任意向量基表示，提供了一个几何一致的框架，推广了先前的1+3方法，并与3+1形式体系建立了直接对应关系。

ABSTRACT

We present in this paper the formalism for the splitting of a four-dimensional Lorentzian manifold by a set of time-like integral curves. Introducing the geometrical tensors characterizing the local spatial frames induced by the congruence (namely, the spatial metric tensor, the extrinsic curvature tensor and the Riemann curvature tensor), we derive the Gauss, Codazzi and Ricci equations, along with the evolution equation for the spatial metric. In the present framework, the spatial frames do not form any hypersurfaces as we allow the congruence to exhibit vorticity. The splitting procedure is then applied to the Einstein field equation and it results in an equivalent set of constraint and evolution equations. We discuss the resulting systems and compare them with the ones obtained from the 3+1 formalism, where the manifold is foliated by means of a family of three-dimensional space-like surfaces.

研究动机与目标

• 开发一种几何一致的1+3形式体系，沿类时积分曲线族对时空进行分解，即使在涡度导致空间框架无法形成超曲面的情况下也适用。
• 推导诱导空间几何的高斯、Codazzi和Ricci方程，包括空间度量的演化方程。
• 将爱因斯坦场方程重新表述为一组1+3约束与演化方程，类似于3+1形式体系，但适配于纤维化视角。
• 在任意四维向量基及其对偶基中提供一个通用表述，克服先前研究仅限于适配基的局限性。
• 通过以统一的、基无关的方式表达相同的几何与动力学量，建立1+3与3+1形式体系之间的正式对应关系。

提出的方法

• 通过引入类时族并相对于该族的正交空间框架定义空间度量、外曲率与黎曼曲率张量，构建该形式体系。
• 利用黎曼曲率张量的分解，推导出高斯、Codazzi与Ricci方程，其中空间曲率与外曲率张量通过投影算子作用于空间框架定义。
• 通过沿类时向量场的李导数推导空间度量的演化方程，利用归一化条件与度量相容性条件。
• 通过将四维黎曼张量与里奇张量沿类时族的切向量与法向量投影，将爱因斯坦场方程分解为1+3分量。
• 该形式体系采用适配于族的坐标系，时间坐标为$t$，空间坐标为$X^i$，并定义对偶1-形式基$ \{dt, dX^i\}$以表达张量分量。
• 推导过程在一般向量基中进行，确保方程在特定坐标选择之外依然有效，并与标准3+1形式体系进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地推导适用于一般类时族的1+3形式体系，包括涡度非零导致空间框架无法形成超曲面的情况？
• RQ2 当以任意四维向量基表示时，1+3形式体系中高斯、Codazzi与Ricci方程的显式形式是什么？
• RQ3 从爱因斯坦场方程导出的1+3约束与演化方程在结构与几何内容上，与3+1形式体系的对应方程有何异同？
• RQ4 位移1-形式及其分量在决定类时族的涡度中起什么作用，其在张量方程中如何体现？
• RQ5 能否构建一个完全几何化的1+3形式体系，使其与3+1形式体系保持完全等价，同时保留流体物理量（如膨胀、剪切与涡度）的运动学解释？

主要发现

• 在一般向量基中推导出1+3形式体系的高斯、Codazzi与Ricci方程，使得即使在族具有非零涡度时，也能描述空间几何。
• 空间度量的演化方程表达为$ \frac{1}{M} \mathcal{L}_{\bm{m}} \gamma_{ij} = K_{ij} $，其中$ \bm{m} = M\bm{u} $，清晰展示了空间几何沿族的时间演化。
• 加速度分量为$ a_i = \frac{D_i M}{M} + \mathcal{L}_{\bm{m}} M_i $，明确将流体加速度与位移1-形式的李导数及度量的时间导数联系起来。
• 涡度分量表达为$ \omega_{ij} = M(M_{[i}M_{j],t} - M_{[i,j]}) $，表明若位移1-形式为零，则涡度亦为零。
• 四维黎曼张量的1+3分解导出一组与爱因斯坦场方程等价的约束与演化方程，其中额外项源于空间框架无法形成超曲面。
• 该形式体系通过以基无关方式表达相同的几何与动力学量，与3+1形式体系建立了直接对应关系，克服了早期研究仅限于适配基的局限性。