[论文解读] On the $2$-adic valuation of $σ_k(n)$

Kaimin Cheng, Ke Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

本论文在 σ_k(n) 的 2 进 valuation ν_2 的界限上做出改进，在 n 的素因数分解下给出一个精确公式，并区分奇偶 k；等号情形与 Mersenne 素数的乘积（k 为奇）或 n=3（k 为偶）相关。

ABSTRACT

For a positive integer $k$, let \[ σ_k(n)=\sum_{d\mid n} d^k \] be the divisor function of order $k$, and let $ν_p(m)$ denote the $p$-adic valuation of an integer $m$. Motivated by recent work on the $p$-adic valuation of $σ_k(n)$, we study $ν_2(σ_k(n))$ in detail. We prove that, for every integer $n\ge 2$, \[ ν_2(σ_k(n)) \le \begin{cases} \lceil \log_2 n ceil, & ext{if $k$ is odd},\\[1mm] \lfloor \log_2 n floor, & ext{if $k$ is even}. \end{cases} \] These bounds are best possible. More precisely, if $k$ is odd, then equality holds if and only if $n$ is a product of distinct Mersenne primes; if $k$ is even, then equality holds if and only if $n=3$. We also obtain an explicit formula for $ν_2(σ_k(n))$ in terms of the prime factorization of $n$.

研究动机与目标

• 研究所有 n ≥ 2 与整数 k ≥ 1 时的 ν_2(σ_k(n))。
• 在 2 进情形下（p=2）改进以往的一般 p 进界限。
• 给出 ν_2(σ_k(n)) 在 n 的素因数分解下的显式公式。
• 确定何时等号成立的精确条件（k 奇 vs 偶）。

提出的方法

• 利用 σ_k 的乘法性将问题化简为素数幂的情况。
• 对奇素数 p，利用提升指数型引理（A^m−1 公式）推导 ν_2(σ_k(p^α))。
• 单独处理 2 的幂部分，证明 ν_2(σ_k(2^a))=0。
• 通过乘法性将结果组合成对所有奇素因子幂 α_i 为奇的情形的 ν_2(σ_k(n)) 的和。
• 区分 k 的奇偶性得到简化的上界。
• 通过分析等号条件并将 n 的大小与 log_2 n 比较，证明界限的尖锐性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 n 的素因数分解下，ν_2(σ_k(n)) 的精确表达式是什么？
• RQ2 k 的奇偶性对 ν_2(σ_k(n)) 的上界及等号情形有何影响？
• RQ3 在什么条件下 ν_2(σ_k(n)) 的边界等号成立（k 为奇时为不同的 Mersenne 素数的乘积；k 为偶时为 n=3）？

主要发现

• ν_2(σ_k(n)) = ∑_{i} 其中 α_i 为奇时的 (ν_2(α_i+1) + ν_2(p_i^k+1) − 1)，当 n = 2^a ∏ p_i^α_i 时。
• 当 k 为奇时，ν_2(p^k+1) = ν_2(p+1)，因此 ν_2(σ_k(p^α)) 在 α 为偶时为 0；在 α 为奇时为 ν_2(α+1) + ν_2(p+1) − 1。
• 当 k 为偶时，ν_2(p^k+1) = 1，因此 ν_2(σ_k(p^α)) 在 α 为偶时为 0；在 α 为奇时为 ν_2(α+1)。
• 因此当 k 为偶时，对所有 n ≥ 2 有 ν_2(σ_k(n)) ≤ ⌊log_2 n⌋，等号仅在 n=3 时成立。
• 当 k 为奇时，对所有 n ≥ 2 有 ν_2(σ_k(n)) ≤ ⌈log_2 n⌉，等号当且仅当 n 是不同 Mersenne 素数的乘积。
• 这些结果给出显式公式并在所有情形下确认界限的尖锐性。