[论文解读] On the 2-part of the Birch-Swinnerton-Dyer conjecture for elliptic curves with complex multiplication

John Coates, Minhyong Kim+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过在二次扭上使用平均化方法和Kronecker-Eisenstein级数，建立了在虚二次域上具有复乘的椭圆曲线的Birch-Swinnerton-Dyer猜想的弱2部分形式。关键结果是将扭的中心L值与Eisenstein级数之和联系起来的公式，从而使得对根数为$-1$的曲线的应用成为可能，并扩展了Tian在同余数问题上的工作。

ABSTRACT

Given an elliptic curve E over Q with complex multiplication having good reduction at 2, we investigate the 2-adic valuation of the algebraic part of the L-value at 1 for a family of quadratic twists. In particular, we prove a lower bound for this valuation in terms of the Tamagawa number in a form predicted by the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer.

研究动机与目标

• 将Tian在同余数问题上的结果推广到具有根数$-1$的CM椭圆曲线的无限族二次扭上。
• 在$p=2$时，为具有复乘的椭圆曲线提供Birch-Swinnerton-Dyer猜想的弱2部分形式，此时标准Iwasawa理论失效。
• 开发一种基于在二次扭上平均化和Eisenstein级数的初等方法，以避免在$p=2$时对完整Iwasawa理论的依赖。
• 证明该方法在具有在2处良好减少且CM由类数为1的虚二次域整数环的椭圆曲线上表现得尤为清晰。
• 为将$L$-值和解析秩的深层算术结果推广到更广泛的扭族提供基础，借助这种弱BSD形式。

提出的方法

• 使用CM椭圆曲线的复$L$-级数的经典表达式，表示为Kronecker-Eisenstein级数$H_1(z,s,\mathfrak{L})$的和。
• 通过对二次扭进行平均化，通过对射类群代表元求和$H_1$，将$L_S(\bar{\psi}_E,s)$与中心$L$-值联系起来。
• 固定$\mathcal{O}_K$上的全局极小Weierstrass模型，并定义周期$\Omega_\infty$，使得Néron微分格$\mathfrak{L} = \Omega_\infty \mathcal{O}_K$。
• 依赖于$E/K$的Grossencharacter $\psi_E$ 及其复共轭，通过$\mathfrak{b} \in \mathcal{B}$的求和表达非本原$L$-函数$L_S(\bar{\psi}_E,s)$。
• 利用$K$的类数为1，且$\mathfrak{g}$是$\psi_E$的导子$\mathfrak{f}$的倍数，因此$K(E_g)$是模$\mathfrak{g}$的射类域。
• 应用公式$L_S(\bar{\psi}_E,s) = \frac{|\Omega_\infty / g|^{2s}}{\overline{\Omega_\infty / g}} \sum_{\mathfrak{b} \in \mathcal{B}} H_1(\psi_E(\mathfrak{b})\Omega_\infty / g, s, \mathfrak{L})$，将$L$-值与Eisenstein级数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过初等方法，利用平均化方法和Eisenstein级数，在$p=2$时为CM椭圆曲线建立Birch-Swinnerton-Dyer猜想的弱2部分形式？
• RQ2 在二次扭上使用平均化方法，是否能对根数为$-1$的扭的2-adic $L$-值代数部分的2-adic赋值给出有效界？
• RQ3 该方法能否应用于CM曲线的无限族二次扭，以证明在$s=1$处$L$-值的非零性？
• RQ4 此类族中Tamagawa因子和$L$-值代数部分的2-adic赋值的结构如何表现？
• RQ5 该方法在多大程度上可以替代或补充Waldspurger公式等更高级工具在研究BSD的2部分中的作用？

主要发现

• 对于由$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-1}), \mathbb{Q}(\sqrt{-2}), \mathbb{Q}(\sqrt{-3})$，或$\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$（其中$q=7,11,19,43,67,163$）的整数环进行复乘的椭圆曲线，该方法给出了BSD猜想的弱2部分形式。
• 二次扭$E^{(-M)}$的中心$L$-值$L(E^{(-M)},1)$与Kronecker-Eisenstein级数之和相关，从而可控制其2-adic赋值。
• 在表I和表II中，计算了多种扭的2-adic赋值$\mathrm{ord}_2 |L^{(\text{alg})}(E^{(-M)},1)|$，其值最高达6（例如$M=307, 547, 787$），表明2-主Selmer群的增长是非平凡的。
• 对于在2处具有良好减少的曲线，该方法简化并清晰适用，如导子为121的曲线$E: y^2 + y = x^3 - x^2 - 7x + 10$所示。
• 对该曲线，11处的Tamagawa因子始终为2，且对所有测试的$M$，代数$L$-值的2-adic赋值$\geq 2$，与弱BSD预测一致。
• 推论4.6为这类CM曲线的所有二次扭的代数$L$-值的2-adic赋值提供了统一的有界性，从而支持非零性结果的应用。