[论文解读] On the 2D `viscous incompressible fluid + rigid body' system with Navier conditions and unbounded energy

Marco Bravin|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文建立了在流体动能在无穷远处无界的情况下，具有Navier滑移边界条件的二维粘性不可压缩流体-刚体系统的全局时间弱解的存在性。关键贡献在于提出了一种广义的弱解框架和密度论证，将先前结果扩展至具有非零无穷远处环量的无限能量情形。

ABSTRACT

In this paper we consider the motion of a rigid body in a viscous incompressible fluid when some Navier slip conditions are prescribed on the body's boundary. The whole `viscous incompressible fluid + rigid body' system is assumed to occupy the full plane $\\R^{2}$. We prove the existence of global-in-time weak solutions with constant non-zero circulation at infinity.

研究动机与目标

• 将二维流体-刚体系统的弱解定义扩展至动能无界的场合。
• 解决流体速度场在无穷远处可积性缺失的问题，即能量为无穷大但速度衰减如 $1/|x|$。
• 在具有非零无穷远处环量的Navier滑移边界条件下，证明全局时间弱解的存在性。
• 通过密度论证和 $L^2_{\text{loc}}$ 中的紧致性，修正并强化先前工作（如 [13]）中的证明技术。
• 利用Kirchhoff势和能量估计，建立刚体平动与转动速度的改进正则性。

提出的方法

• 在体坐标系中表述流体-刚体系统，并在边界上施加Navier滑移条件：$ u \cdot n = (\ell + r x^\perp) \cdot n $ 与 $ (D(u)n) \cdot \tau = -\alpha (u - \ell - r x^\perp) \cdot \tau $。
• 将初始数据定义为 $ u_0 = \tilde{u}_0 + \beta H_{\mathcal{S}_0} $，其中 $ H_{\mathcal{S}_0} $ 是具有单位环量的调和向量场，且 $ \tilde{u}_0 \in L^2_{\sigma}(\mathcal{F}_0) $。
• 采用截断方法，将定义域限制在包含 $ \mathcal{S}_0 $ 的 $ B_R(0) $ 上，求解截断问题，并在 $ R \to \infty $ 时取极限。
• 应用Aubin-Lions引理，证明 $ \tilde{u}_{k,R_k} $ 在 $ L^2(0,T; L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)) $ 中相对紧致，从而保证非线性项的收敛性。
• 在 $ L^\infty(0,T; L^2) \cap L^2(0,T; \underline{\mathcal{V}}) $ 上建立 $ \tilde{u}_{k,R_k} $ 的一致有界性，以及在 $ L^2(0,T; \mathcal{V}^\prime) $ 上对 $ \partial_t \tilde{u}_{k,R_k} $ 的一致有界性，以确保紧致性。
• 利用Kirchhoff势 $ \Phi_i $ 重写刚体方程，并通过附加质量矩阵 $ \mathcal{M} $ 的正定性，证明 $ (\ell, r) \in H^1(0,T; \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当流体能量在无穷远处无界时，二维流体-刚体系统在Navier边界条件下是否存在全局弱解？
• RQ2 如何扩展弱解的定义以容纳具有非零环量的无限能量初始数据？
• RQ3 当能量不一致有界时，何种紧致性技术足以使非线性项的极限成立？
• RQ4 无穷远处非零环量的存在如何影响解的长期行为与正则性？
• RQ5 能否通过密度与截断论证，将有限能量情形下的证明策略适配至无限能量设置？

主要发现

• 在具有Navier滑移条件和无界动能的二维流体-刚体系统中，全局时间弱解存在。
• 初始速度场被分解为有限能量部分与一个衰减如 $ 1/|x| $ 的调和场 $ H_{\mathcal{S}_0} $，后者携带恒定环量。
• 由于 $ \tilde{u}_{k,R_k} $ 在 $ L^2(0,T; L^2_{\text{loc}}(\mathbb{R}^2)) $ 中的相对紧致性（由Aubin-Lions引理建立），弱形式中的非线性项在极限下收敛。
• 证明了刚体速度 $ \ell $ 与 $ r $ 属于 $ H^1(0,T; \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}) $，表明其正则性优于 $ L^2 $。
• 附加质量矩阵 $ \mathcal{M} $ 是对称且正定的，确保了刚体运动方程的良好适定性。
• 证明依赖于一个密度论证（引理2），该论证增强了存在性结果的有效性，并修正了早期工作（如 [13]）中的漏洞。