[论文解读] On the 3/4-Conjecture for Fix-Free Codes -- A Survey

Holger Schnettler|ArXiv.org|Sep 17, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 11

一句话总结

本综述全面回顾了固定前缀码的3/4-猜想，该猜想提出：对于任意码字长度序列，只要Kraft和≤ 3/4，就存在固定前缀码。本文综合了已有成果，利用de Bruijn有向图和π-系统将结果扩展至q元字母表，并提供了充分条件以保证码的存在性，包括Kraft和高达5/8以及长度序列具有结构约束的情况。

ABSTRACT

In this survey we concern ourself with the question, wether there exists a fix-free code for a given sequence of codeword lengths. For a given alphabet, we obtain the {\em Kraftsum} of a code, if we divide for every length the number of codewords of this length in the code by the total number of all possible words of this length and then take summation over all codeword lengths which appears in the code. The same way the Kraftsum of a lengths sequence $(l_1,..., l_n) $ is given by $\sum_{i=1}^n q^{-l_i} $, where $q$ is the numbers of letters in the alphabet. Kraft and McMillan have shown in \cite{kraft} (1956), that there exists a prefix-free code with codeword lengths of a certain lengths sequence, if the Kraftsum of the lengths sequence is smaller than or equal to one. Furthermore they have shown, that the converse also holds for all (uniquely decipherable) codes.\footnote{In this survey a code means a set of words, such that any message which is encoded with these words can be uniquely decoded. Therefore we omit in future the "uniquely decipherable" and write only "code".} The question rises, if Kraft's and McMillan's result can be generalized to other types of codes? Throughout, we try to give an answer on this question for the class of fix-free codes. Since any code has Kraftsum smaller than or equal to one, this answers the question for the second implication of Kraft-McMillan's theorem. Therefore we pay attention mainly to the first implication.

研究动机与目标

• 综述并系统化关于固定前缀码3/4-猜想的已知成果，该猜想指出：当码字长度的Kraft和不超过3/4时，固定前缀码必然存在。
• 将先前针对二元字母表的结果扩展至q元字母表，特别是通过利用de Bruijn有向图及其正则子图来构造固定前缀码。
• 在长度序列具有各种结构约束（如稀疏性与周期性）的条件下，提供固定前缀码存在的充分条件。
• 通过展示当Kraft和超过3/4时存在反例，阐明Kraft-McMillan不等式在固定前缀码中的极限，证明3/4是该猜想的最优阈值。
• 提出新的二元固定前缀码存在的充分条件，包括Kraft和高达5/8以及对偶数长度码字的结构约束的情形。

提出的方法

• 利用Kraft和公式 ∑ q^(-l_i) 来评估给定长度序列下固定前缀码的可行性，其中q为字母表大小。
• 应用de Bruijn有向图 B_q(n) 来建模码字结构，并识别对应于有效固定前缀码的正则子图。
• 利用π-系统通过扩展de Bruijn有向图的正则子图来生成固定前缀码，从而实现对具有特定长度分布的码的系统化构造。
• 应用组合与图论技术推导码存在的充分条件，包括对每种长度上码字数量的约束。
• 对特定情况（如长度上限为7或8）使用计算机辅助验证，特别是针对二元码，以在有限长度序列下验证码的存在性。
• 引入基于乘积的不等式准则，涉及索引 h(i) 和长度依赖关系，以判断具有重复长度的序列是否存在码。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意给定的码字长度序列，若其Kraft和 ≤ 3/4，是否存在固定前缀码？
• RQ2 3/4-猜想能否从二元字母表推广至q元字母表？长度序列的何种结构条件可确保码的存在？
• RQ3 在Kraft和超过1/2但低于3/4时，固定前缀码存在的充分条件是什么？
• RQ4 de Bruijn有向图及其正则子图如何促进固定前缀码的构造与分析？
• RQ5 目前已知的固定前缀码必然存在的Kraft和的最紧上界是什么？这些界能否进一步改进？

主要发现

• 3/4-猜想在一般情况下仍未被证明，但在特定长度序列类别中成立，包括两层码和某些具有受限长度模式的二元序列。
• 对于二元码，该猜想在Kraft和高达5/8时已被验证，Ye与Yeung、Yekhanin通过结构约束和乘积不等式提供了充分条件。
• 对于任意 γ > 3/4，均存在Kraft和 < γ 但不存在固定前缀码的长度序列，证明3/4是该猜想的最优阈值。
• 当所有奇数长度码字均不存在，偶数长度码字遵循至长度2n的几何级数，且长度2n处的码字数量足够大时，存在固定前缀码。
• 当长度序列有限且仅限于长度 ≥ 4（偶数）时，若码字数量受 2^(l_min/2 - 2 + l) 限制，则存在固定前缀码。
• 对于二元码，当所有长度 ≥ 8 的码字数量设为零时，无论低长度处的分布如何，均存在固定前缀码，该结论经计算机搜索验证。