[论文解读] On the $3$-colorable subgroup $\mathcal{F}$ and maximal subgroups of Thompson's group $F$

Valeriano Aiello, Tatiana Nagnibeda|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2021

Advanced Topology and Set Theory被引用 1

一句话总结

本文研究了琼斯·福克斯（Thompson）群 F 的 3-可着色子群 𝔽，证明其关联的拟正则表示是不可约的。此外，本文进一步表明，F 的特定单射自同态 θ 下 𝔽 的原像位于三个新的显式极大子群中，这些子群的无限指数性质与此前已知的子群（如抛物子群、定向子群 ⃗F 及戈兰的子群）不同，从而扩展了 F 中无限指数极大子群的已知图景。

ABSTRACT

In his work on representations of Thompson's group $F$, Vaughan Jones defined and studied the $3$-\emph{colorable subgroup} $\mathcal{F}$ of $F$. Later, Ren showed that it is isomorphic with the Brown-Thompson group $F_4$. In this paper we continue with the study of the $3$-colorable subgroup and prove that the quasi-regular representation of $F$ associated with the $3$-colorable subgroup is irreducible. We show moreover that the preimage of $\mathcal{F}$ under a certain injective endomorphism of $F$ is contained in three (explicit) maximal subgroups of $F$ of infinite index. These subgroups are different from the previously known infinite index maximal subgroups of $F$, namely the parabolic subgroups that fix a point in $(0,1)$, (up to isomorphism) the Jones' oriented subgroup $\vec{F}$, and the explicit examples found by Golan.

研究动机与目标

• 研究琼斯·福克斯（Vaughan Jones）引入的 Thompson 群 F 的 3-可着色子群 𝔽，即由量子 SO(3) 平面代数中单位表示所诱导的真空向量的稳定化子。
• 研究与 𝔽 关联的 F 的拟正则表示的结构，特别是其不可约性。
• 识别并表征 F 中三个新的无限指数极大子群，其与已知例子（如抛物子群、定向子群 ⃗F 及戈兰的子群）不同。
• 分析 𝔽 在 F 的特定单射自同态 θ 下的原像，并确定其包含于极大子群中。

提出的方法

• 利用平面代数构造及关联图的色多项式来定义和表征 3-可着色子群 𝔽。
• 应用 Ren 的构造方法，通过树替换得到单射同态 αT: Fk → F，其中 k=3 用于 3-可着色子群。
• 采用与 𝔽 关联的拟正则表示，并通过树对的群论与组合论证证明其不可约性。
• 通过正规形式计算和 F+ ∩ K(2,2) 中的块结构，分析 𝔽 在 F 的单射自同态 θ 下的像。
• 对生成元 g ∈ F 显式计算 θ(g)，以证明其不属于已知极大子群 M0、M1、M2 及 β⁻¹(⃗F)。
• 利用 K(2,2) 子群作为超群，并证明由 F 和 F+ ∩ K(2,2) 中一个正元素生成的任意子群，要么是 M0、M1，要么是 K(2,2)，借助块结构与共轭技巧。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 3-可着色子群 𝔽 关联的 F 的拟正则表示是否不可约？
• RQ2 在单射自同态 θ 下，𝔽 的原像所包含的子群 M0、M1、M2 是否在 F 中极大且具有无限指数？
• RQ3 M0、M1、M2 是否同构于此前已知的 F 的无限指数极大子群，如抛物子群、⃗F 或戈兰的子群？
• RQ4 θ 下 𝔽 的原像是否避开所有已知极大子群，包括 t ∈ (0,1) 的 Stab(t) 和 β⁻¹(⃗F)？
• RQ5 是否可证明 K(2,2) 的任意包含 F 的子群，若由 F 和 F+ ∩ K(2,2) 中一个正元素生成，则必为 M0、M1 或 K(2,2)，从而暗示在 F 与 K(2,2) 之间仅有有限多个此类子群？

主要发现

• 与 3-可着色子群 𝔽 关联的 F 的拟正则表示是不可约的。
• 在单射自同态 θ 下，𝔽 的原像包含于 F 的三个不同极大子群 M0、M1、M2 中，且这三个子群均具有无限指数。
• 这些子群 M0、M1、M2 不同构于 F 的任何先前已知的无限指数极大子群，包括抛物子群 Stab(t)、定向子群 ⃗F 及戈兰的子群 K1、K2、K3。
• 显式计算表明，θ(x2)、θ(σ(x2)) 和 θ(x0x1x⁻¹₂) 不属于 M1、M2 或 M0，从而证明 θ⁻¹(M1)、θ⁻¹(M2) 和 θ⁻¹(M0) 不等于任何 Stab(t) 或 β⁻¹(⃗F)。
• 任何包含 F 且由 F 和 F+ ∩ K(2,2) 中一个正元素生成的 K(2,2) 的子群，要么是 M0，要么是 M1，要么是 K(2,2)，提示 M0、M1 和 M2 可能是 F 与 K(2,2) 之间唯一的此类子群。