[论文解读] On the 6d Origin of Non-invertible Symmetries in 4d

Vladimir Bashmakov, Michele Del Zotto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2022

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文通过在黎曼曲面上紧化6维$(2,0)$理论，建立了4维$υ=2$超共形场论中非可逆对称性的6维起源。它表明，模形式空间上映射类群作用的稳定子生成了与1-形式对称性存在混合异常的0-形式对称性，从而导致类似Kramers-Wannier的非可逆缺陷。关键贡献是通过类$\mathcal{S}$紧化中的几何结构，构造出无穷多个4维场论，其具有$ p^k $-性缺陷，其中$ p $为素数且$ k \geq 1 $。

ABSTRACT

It is well-known that six-dimensional superconformal field theories can be exploited to unravel interesting features of lower-dimensional theories obtained via compactifications. In this short note we discuss a new application of 6d (2,0) theories in constructing 4d theories with Kramers-Wannier-like non-invertible symmetries. Our methods allow to recover previously known results, as well as to exhibit infinitely many new examples of four dimensional theories with "M-ality" defects (arising from operations of order $M$ generalizing dualities). In particular, we obtain examples of order $M=p^k$, where $p>1$ is a prime number and $k$ is a positive integer.

研究动机与目标

• 通过6维$(2,0)$超共形场论，识别4维量子场论中非可逆对称性的几何起源。
• 解释在黎曼曲面紧化的类$\mathcal{S}$理论中，0-形式与1-形式对称性之间混合异常的起源。
• 通过6维紧化，构造无穷多个具有非可逆对称性、阶为$ M = p^k $（$ p $为素数且$ k \geq 1 $）的4维场论。
• 提供一种系统方法，从6维划分向量和映射类群不动点读取全局结构与异常。
• 为利用高维SCFT对4维理论中的范畴对称性进行更广泛分类奠定基础。

提出的方法

• 利用6维$ A_{n-1} $型$(2,0)$理论在亏格为$ g $的黎曼曲面$ \Sigma_g $上紧化，构造类$\mathcal{S}$的4维$\mathcal{N}=2$ SCFT。
• 将0-形式对称性识别为映射类群在$ \Sigma_g $复结构模形式空间上作用的稳定子，其对应于特殊点处的增强全局对称性。
• 通过分析6维缺陷群与4维理论全局结构之间的相互作用，检测0-形式与1-形式对称性之间的混合异常。
• 应用Tachikawa方法，从6维划分向量和单值性作用读取类$\mathcal{S}$理论的全局结构。
• 在存在混合异常的情况下，通过规范化1-形式对称性构造非可逆 codimension-one 缺陷，遵循[61]的框架。
• 利用具有$ \mathbb{Z}_{4g+2} $等距性的黎曼曲面几何，生成$ p=2 $、$ k\geq1 $的$ p^k $-ality 例子，并通过适当的曲面退化推广至其他素数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用6维$(2,0)$ SCFT在4维$\mathcal{N}=2$理论中生成非可逆对称性？
• RQ2 在类$\mathcal{S}$紧化中，0-形式与1-形式对称性之间混合异常的几何起源是什么？
• RQ3 6维框架能否产生无穷多个4维理论，其非可逆对称性阶为$ M = p^k $（$ p $为素数）？
• RQ4 映射类群在黎曼曲面上的不动点如何导致具有混合异常结构的增强0-形式对称性？
• RQ5 黎曼曲面的外自同构在通过规范化生成非可逆2-形式对称性中起什么作用？

主要发现

• 本文通过6维$(2,0)$理论在亏格为$ g $的黎曼曲面上紧化，构造出无穷多个4维$\mathcal{N}=2$ SCFT，其具有非可逆对称性，阶为$ M = p^k $，其中$ p > 1 $为素数，$ k $为正整数。
• 非可逆 codimension-one 缺陷源于0-形式与1-形式对称性之间的混合异常，其中0-形式对称性表现为映射类群在$ \Sigma_g $模形式空间上作用的稳定子。
• 在$ \tau = i $处的$ SO(3)_{-} $理论中，$ \mathbb{Z}_2^{(0)} \times \mathbb{Z}_2^{(1)} $混合异常从6维紧化中恢复，与已知结果一致。
• 对于具有$ \mathbb{Z}_{4g+2} $等距性的亏格$ g $曲面，该构造产生$ p=2 $的$ p^k $-ality 缺陷，提供了阶为$ 2^k $的非可逆对称性的显式例子。
• 通过考虑具有循环$ \mathbb{Z}_g $作用在曲面柄上的适当退化，该方法可推广至更高亏格和其他素数，通过规范化外自同构生成非可逆2-形式对称性。
• 该框架为4维中非可逆对称性提供了几何且系统化的起源，统一并扩展了基于异常和对偶性的先前结果。