[论文解读] On the abc conjecture and diophantine approximation by rational points

Paul Vojta|ArXiv.org|Aug 6, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文建立了Vojta关于代数簇上有理点的丢番图逼近猜想与abc猜想之间的深刻联系。它表明，在群作用条件下，Vojta猜想的一个弱化版本蕴含abc猜想；并利用McQuillan对对数导数引理的几何推广，证明了函数域和全纯曲线情形下的类似结果。

ABSTRACT

We show that an earlier conjecture of the author, on diophantine approximation of rational points on varieties, implies the ``abc conjecture'' of Masser and Oesterl'e. In fact, a weak form of the former conjecture is sufficient, involving an extra hypothesis that the variety and divisor admit a faithful group action of a certain type. Analogues of this weaker conjecture are proved in the split function field case of characteristic zero, and in the case of holomorphic curves (Nevanlinna theory). The proof of the latter involves a geometric generalization of the classical lemma on the logarithmic derivative, due to McQuillan. This lemma may be of independent interest.

研究动机与目标

• 研究Vojta猜想在丢番图逼近方面对abc猜想的影响。
• 确定在特定群作用假设下，Vojta猜想的弱化形式是否蕴含abc猜想。
• 在特征零的函数域情形下，建立弱化Vojta猜想的类似结果。
• 利用Nevanlinna理论将结果推广至全息曲线情形。
• 提供对数导数引理的几何推广，该推广可能具有独立兴趣。

提出的方法

• 在簇与除子上引入一个忠实群作用的附加假设，提出Vojta猜想的弱化版本。
• 通过数论推论，将弱化Vojta猜想应用于推导abc猜想。
• 利用代数几何技巧，在特征零的函数域情形下证明弱化猜想的类似结果。
• 利用Nevanlinna理论与对数导数引理的几何推广，建立全息曲线情形的类似结果。
• 利用McQuillan对对数导数引理的推广，处理全息曲线情形。
• 结合算术几何与复分析工具，将数论猜想与分析及几何方法相连接。

实验结果

研究问题

• RQ1 Vojta猜想在有理点上的弱化形式是否蕴含abc猜想？
• RQ2 在簇与除子上，特别是群作用条件下，何种条件可使Vojta猜想推出abc猜想？
• RQ3 弱化Vojta猜想是否可在特征零的函数域情形下被证明？
• RQ4 能否利用Nevanlinna理论将该猜想推广至全息曲线情形？
• RQ5 McQuillan对对数导数引理的几何推广是否足以证明全息曲线情形的类似结果？

主要发现

• 在忠实群作用假设下，Vojta猜想的弱化形式蕴含abc猜想。
• 利用代数几何方法，在特征零的函数域情形下证明了弱化Vojta猜想的类似结果。
• 通过Nevanlinna理论与McQuillan对对数导数引理的几何推广，建立了弱化猜想在全息曲线情形的类似结果。
• 对数导数引理的几何推广被证明是全息曲线情形下的关键技术工具。
• 研究结果展示了连接丢番图逼近、abc猜想与复分析方法的统一框架。
• 本文为从算术几何通往超越方法提供了通过Vojta猜想的路径。