[论文解读] On the abominable properties of the almost Mathieu operator with well approximated frequencies

Artur Avila, Yoram Last+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2021

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 62被引用 5

一句话总结

本文表明，当频率被有理数良好逼近时，几乎马蒂厄算子在所有一维薛定谔算子中可表现出最病态的谱性质。研究证明，在临界耦合（$\lambda=1$）时，谱的豪斯多夫测度对衰减快于对数函数的测度函数可为零，且谱的积分密度和李雅普诺夫指数的模连续性可具有任意差的连续性，同时谱可能既不满足齐次性也不满足帕雷奥-维德姆条件。

ABSTRACT

We show that some spectral properties of the almost Mathieu operator with frequency well approximated by rationals can be as poor as at all possible in the class of all one-dimensional discrete Schroedinger operators. For the class of critical coupling, we show that the Hausdorff measure of the spectrum may vanish (for appropriately chosen frequencies) whenever the gauge function tends to zero faster than logarithmically. For arbitrary coupling, we show that modulus of continuity of the integrated density of states can be arbitrary close to logarithmic; we also prove a similar result for the Lyapunov exponent as a function of the spectral parameter. Finally, we show that (for any coupling) there exist frequencies for which the spectrum is not homogeneous in the sense of Carleson, and, moreover, fails the Parreau-Widom condition. The frequencies for which these properties hold are explicitly described in terms of the growth of the denominators of the convergents.

研究动机与目标

• 研究当频率 $\alpha$ 被有理数良好逼近时，几乎马蒂厄算子的极端谱行为。
• 在这样的算术条件下，确定谱性质（如豪斯多夫测度、积分密度的连续性、李雅普诺夫指数）的正则性极限。
• 刻画谱不满足齐次性和帕雷奥-维德姆条件的频率集合，并证明这些性质在一维薛定谔算子类中可达到最差程度。

提出的方法

• 作者利用 $\alpha$ 的算术结构，特别是其渐近分数分母 $q_n$ 的增长速率，分析几乎马蒂厄算子 $H_{\alpha,\lambda,\theta}$ 的谱。
• 他们对周期逼近算子 $H_{p_n/q_n,\lambda,\theta}$ 的谱间隙和能带宽度进行估计，表明当 $\lambda > 1$ 时，能带收缩快于任何幂律。
• 关键技术涉及使用 $\theta$-平均态密度 $\overline{\rho}_{p_n/q_n,\lambda}$ 和扰动论证，将之与无理 $\alpha$ 的真实态密度 $\rho_{\alpha,\lambda}$ 进行比较，采用一种定量的 KAM 型论证版本。
• 他们基于区间密度和长度的覆盖论证，以估计给定区间内谱带的数量，依赖于一个将区间数量与总测度和密度联系起来的断言。
• 他们使用测度函数 $\omega_t(s) = 1/\log^t(1/es)$ 和 $\widetilde{\omega}_t(s) = s^t$ 来量化豪斯多夫测度的衰减，证明对于某些 $\alpha$，当 $\omega$ 衰减较快时，测度为零。
• 他们证明，积分密度的模连续性和李雅普诺夫指数的模连续性可任意接近对数函数，通过在小区间上估计这些函数的变化量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界耦合（$\lambda=1$）时，即使对于衰减快于对数函数的测度函数，几乎马蒂厄算子的谱豪斯多夫测度是否可能为零？
• RQ2 对于被有理数良好逼近的频率，积分密度和李雅普诺夫指数的正则性极限是什么？其模连续性是否可任意接近对数函数？
• RQ3 对于某些被良好逼近的频率，几乎马蒂厄算子的谱是否在卡莱森意义下不满足齐次性？
• RQ4 当 $\alpha$ 被有理数极好逼近时，谱是否可能对任意耦合 $\lambda$ 都不满足帕雷奥-维德姆条件？
• RQ5 连续分数分母 $q_n$ 的何种显式算术条件可刻画出导致这些极端谱性质的频率？

主要发现

• 当 $\lambda=1$ 且 $\beta(\alpha)>0$ 时，对所有 $t>2$ 有 $\mathcal{H}^{\omega_t}(S(\alpha,1))=0$，意味着谱对衰减快于 $1/\log^2(1/es)$ 的测度函数具有零豪斯多夫测度。
• 对任意满足 $\lim_{s\to 0^+} \omega(s) \log(1/s) = 0$ 的测度函数 $\omega$，存在一个 $G_\delta$-稠密的无理数 $\alpha$ 集合，使得 $\mathcal{H}^\omega(S(\alpha,1))=0$，表明谱对任何衰减快于对数函数的测度函数都可具有零测度。
• 对任意耦合 $\lambda$，积分密度的模连续性可任意接近对数函数，意味着其正则性可达到最差程度。
• 类似地，李雅普诺夫指数作为谱参数的函数，其模连续性也可任意接近对数函数，表明其不规则性达到最大。
• 存在某些频率 $\alpha$，使得谱在卡莱森意义下不满足齐次性，且不满足帕雷奥-维德姆条件，即使对任意 $\lambda > 0 $ 也成立，表明谱在几何意义上可达到最不规则程度。
• 这些极端性质发生的频率由渐近分数分母的增长速率明确刻画：$q_{n+1} \gg \lambda^{q_n}$，这意味着有理数对 $\alpha$ 的逼近速度极快。