[论文解读] On the absolute constants in the Berry-Esseen type inequalities for identically distributed summands

Irina Shevtsova|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 101

一句话总结

该论文改进了独立同分布随机变量在有限三阶绝对矩条件下的 Berry–Esseen 不等式中绝对常数 $ C_0 $ 的上界。通过改进 Korolev 和 Shevtsova（2010）提出的方法，作者建立了不等式 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $，将 $ C_0 $ 的最佳已知估计进一步收紧至 $ C_0 < 0.4756 $，显著提升了中心极限定理中收敛速率边界的紧致性。

ABSTRACT

By a modification of the method that was applied in (Korolev and Shevtsova, 2010), here the inequalities $Δ_n\leq0.3328(β_3+0.429)/\sqrt{n}$ and $Δ_n\leq0.33554(β_3+0.415)/\sqrt{n}$ are proved for the uniform distance $Δ_n$ between the standard normal distribution function and the distribution function of the normalized sum of an arbitrary number $n\geq1$ of independent identically distributed random variables with zero mean, unit variance and finite third absolute moment $β_3$. The first of these two inequalities improves one that was proved in (Korolev and Shevtsova, 2010), and as well sharpens the best known upper estimate for the absolute constant $C_0$ in the classical Berry--Esseen inequality to be $C_0&lt;0.4756$, since $0.3328(β_3+0.429)\leq0.3328\cdot1.429β_3&lt;0.4756β_3$ by virtue of the condition $β_3\geq1$. The second of these inequalities is also a structural improvement of the classical Berry--Esseen inequality, and as well sharpens the upper estimate for $C_0$ still more to be $C_0&lt;0.4748$.

研究动机与目标

• 改进经典 Berry–Esseen 不等式中绝对常数 $ C_0 $ 的上界。
• 改进具有有限三阶绝对矩的独立同分布随机变量在中心极限定理中的收敛速率估计。
• 进一步收紧 $ \Delta_n $ 的现有边界，其中 $ \Delta_n $ 表示标准化和分布与标准正态分布之间的统一距离。
• 提供一个依赖于三阶绝对矩 $ \beta_3 $ 的更紧致的结构性不等式。

提出的方法

• 应用 Korolev 和 Shevtsova（2010）方法的改进版本，以更精确估计特征函数在零点附近的差异。
• 分析特征函数差异在原点邻域的行为，以改进平滑不等式。
• 利用对三阶绝对矩 $ \beta_3 $ 的界，并将其应用于归一化和分布 $ F_n(x) $。
• 通过更精细的特征函数技术应用，对统一距离 $ \Delta_n = \sup_x |F_n(x) - \Phi(x)| $ 进行有界处理。
• 方法中引入了对特征函数展开余项更优的估计，以进一步收紧最终边界。
• 分析在标准条件下进行：均值为零、方差为一，且三阶绝对矩 $ \beta_3 \geq 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在独立同分布和项的 Berry–Esseen 不等式中，绝对常数 $ C_0 $ 的最紧可能上界是什么？
• RQ2 通过改进零点附近特征函数差异的估计，能否提升中心极限定理中的收敛速率？
• RQ3 三阶绝对矩 $ \beta_3 $ 的引入如何影响 $ \Delta_n $ 边界的紧致性？
• RQ4 通过在 $ \beta_3 $ 中引入线性校正项，能否改进不等式 $ \Delta_n \leq C_0 \beta_3 / \sqrt{n} $？
• RQ5 在当前分析技术下，假设 $ \beta_3 \geq 1 $，$ C_0 $ 的最佳可实现值是多少？

主要发现

• 论文建立了对所有 $ n \geq 1 $ 和所有 $ F \in \mathcal{F}_3 $ 成立的不等式 $ \Delta_n \leq 0.3328 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $。
• 该结果优于 Korolev 和 Shevtsova（2010）得出的先前边界 $ \Delta_n \leq 0.33477 \cdot \frac{\beta_3 + 0.429}{\sqrt{n}} $。
• 新边界意味着 $ C_0 < 0.4756 $，比先前已知的 $ C_0 < 0.4774 $ 更为紧致。
• 该改进通过在零点附近对特征函数差异进行更精细的分析实现，从而增强了平滑不等式技术。
• 边界 $ C_0 < 0.4756 $ 是由 $ 0.3328 \cdot 1.429 < 0.4756 $ 推导而来，利用了 $ \mathcal{F}_3 $ 中所有分布均满足 $ \beta_3 \geq 1 $ 的事实。
• 还建立了第二个不等式 $ \Delta_n \leq 0.33554 \cdot \frac{\beta_3 + 0.415}{\sqrt{n}} $，进一步将上界收紧至 $ C_0 < 0.4748 $。