[论文解读] On the Accuracy and Stability of Various DG Formulations for Diffusion

Mohammad Alhawwary, Z.J. Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 50被引用 4

一句话总结

本文通过冯·诺伊曼分析与联合模态分析，研究了扩散问题中主流不连续伽辽金（DG）格式（SIPG、BR1、BR2 和 LDG）的精度与稳定性。结果表明，LDG 在高波数和长时间模拟中表现出更优的耗散精度；而通过调整罚参数可显著提升 BR1 的稳定性与性能，使其接近 BR2 的行为。

ABSTRACT

In this paper, we study the stability (in terms of the maximum time step) and accuracy (in terms of the wavenumber-diffusion properties) for several popular discontinuous Galerkin (DG) viscous flux formulations. The considered methods include the symmetric interior penalty formulation (SIPG), the first and second approaches of Bassi and Rebay (BR1, BR2), and the local discontinuous Galerkin method (LDG). For the purpose of stability, we consider the von Neumann stability analysis method for uniform grids with a periodic boundary condition. In addition, the combined-mode analysis approach previously introduced for the wave equation is utilized to analyze the dissipative error. This new approach can be used to study the performance of a particular DG and Runge-Kutta DG (RKDG) scheme for the entire extended wavenumber range. Thus, more insights into the robustness as well as accuracy and efficiency can be obtained. For instance, the LDG method provides larger dissipation for high-wavenumber components than the BR1 and BR2 approaches for short time simulations in addition to a lower error bound for long time simulations. The BR1 approach with added dissipation can have desirable properties and stability similar to BR2. For BR2, the penalty parameter can be adjusted to enhance the performance of the scheme. The results are verified through canonical numerical tests.

研究动机与目标

• 评估主流 DG 格式（SIPG、BR1、BR2、LDG）在扩散问题中的稳定性和精度。
• 研究罚参数对全离散 RKDG 格式时间步长稳定性与耗散误差的影响。
• 应用联合模态分析，评估全波数范围内波数相关的耗散特性。
• 推导简化实现的闭式表达式，并阐明各格式之间的联系。
• 通过线性热方程与伯吉斯方程的数值实验验证结果。

提出的方法

• 在周期性边界条件的均匀网格上，对 RKDG 格式进行冯·诺伊曼稳定性分析，以确定最大稳定时间步长。
• 应用联合模态分析，评估全波数范围内耗散误差，从而揭示长时与短时行为的内在机制。
• 对 RKDG 格式进行半离散与全离散分析，建立罚参数与稳定性、精度之间的关联。
• 推导关键 DG 格式的简化闭式表达式，以辅助实现并揭示其结构相似性。
• 采用典型测试算例：具有高斯初值的线性热方程与衰减型伯吉斯湍流，利用精确解进行验证。
• 在多项式阶次（p = 1 到 5）与时间积分格式（RK2、RK3、RK4）下比较各格式性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 RKDG 格式下，SIPG、BR1、BR2 与 LDG 在最大稳定时间步长方面有何差异？
• RQ2 罚参数对 BR1 与 BR2 格式耗散误差与稳定性的影响如何？
• RQ3 LDG 格式在长时间模拟中对高波数分量的精确耗散行为逼近效果如何？
• RQ4 通过罚参数调节，是否可使稳定化 BR1 格式实现与 BR2 相似的耗散特性？
• RQ5 各格式在短时与长时耗散行为上存在何种差异？其背后原因是什么？

主要发现

• 在短时模拟中，LDG 对高波数分量的耗散大于 BR1 与 BR2，且在长时模拟中具有更低的误差界。
• 对于 BR2，调整罚参数 η 显著提升格式性能，最优值可增强稳定性与精度。
• 在半离散与全离散情形下，添加耗散的 BR1 格式（η ≈ 1.33，p=2）的耗散行为几乎与 BR2（η=2）完全一致。
• 在最大稳定时间步长约 50% 处，所有格式均恢复其半离散耗散行为；在接近 Δτ_max 时，所有格式对高波数均表现出慢于精确值的衰减。
• 对于一维线性热方程，相同多项式阶次与时间积分格式下，BR2 的 Δτ_max 约为 LDG 的 2.5–3.1 倍。
• 在衰减型伯吉斯湍流测试中，LDG-η0 最好地捕捉了能量谱，证实其在实际非线性场景中具有更优精度。