[论文解读] On the accuracy of stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta methods for finite volume based Navier-Stokes equations

Jiawei Wan, Ahsan Kareem+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 28被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种针对结构化非结构化网格上不可压Navier-Stokes方程有限体积离散的新型动量插值框架，使刚性精确的对角隐式Runge-Kutta（DIRK）格式在速度和压力上均能实现经典阶数的精度。通过将半离散系统视为索引-2微分代数方程（DAE），并重构动量插值方法，该方法消除了相容性误差，使得二阶和三阶DIRK格式在不增加计算成本的前提下实现最优收敛率。

ABSTRACT

The paper aims at developing low-storage implicit Runge-Kutta methods which are easy to implement and achieve higher-order of convergence for both the velocity and pressure in the finite volume formulation of the incompressible Navier-Stokes equations on a static collocated grid. To this end, the effect of the momentum interpolation, a procedure required by the finite volume method for collocated grids, on the differential-algebraic nature of the spatially-discretized Navier-Stokes equations should be examined first. A new framework for the momentum interpolation is established, based on which the semi-discrete Navier-Stokes equations can be strictly viewed as a system of differential-algebraic equations of index 2. The accuracy and convergence of the proposed momentum interpolation framework is examined. We then propose a new method of applying implicit Runge-Kutta schemes to the time-marching of the index 2 system of the incompressible Navier-Stokes equations. Compared to the standard method, the proposed one significantly reduces the numerical difficulties in momentum interpolations and delivers higher-order pressures without requiring additional computational effort. Applying stiff-accurate diagonal implicit Runge-Kutta (DIRK) schemes with the proposed method allows the schemes to attain the classical order of convergence for both the velocity and pressure. We also develop two families of low-storage stiff-accurate DIRK schemes to reduce the storage required by their implementations. Examining the two dimensional Taylor-Green vortex as an example, the spatial and temporal accuracy of the proposed methods in simulating incompressible flow is demonstrated.

研究动机与目标

• 解决在结构化网格上使用Runge-Kutta时间积分求解不可压Navier-Stokes方程时，因动量插值不一致导致的时间精度损失问题。
• 在有限体积离散化与动量插值条件下，正式建立半离散Navier-Stokes系统为索引-2微分代数方程（DAE）的结构。
• 开发一种新型动量插值框架，使得在使用刚性精确的DIRK格式时，速度和压力均能保持经典收敛阶数。
• 构造低存储、刚性精确的DIRK格式（SDIRK2和SDIRK3），在最小化内存使用的同时保持高阶精度。
• 在各种边界条件和网格类型下，验证速度和压力的最优空间与时间收敛性。

提出的方法

• 基于变分形式提出一种新型动量插值框架，确保与半离散Navier-Stokes系统索引-2 DAE结构的一致性。
• 采用刚性精确的对角隐式Runge-Kutta（DIRK）格式对DAE系统进行时间积分，确保速度和压力均达到经典阶精度。
• 开发两类低存储DIRK格式：一类需2个速度寄存器和1个压力寄存器，另一类需3个速度寄存器和1个压力寄存器，以降低内存消耗。
• 采用Picard线性化处理非线性，并使用PISO方法实现压力-速度耦合，确保在每个内部阶段均满足离散连续性方程。
• 以结构化笛卡尔网格上的Taylor-Green涡为基准，验证在不同边界条件下的空间与时间精度。
• 与标准方法对比验证，结果表明所提框架在空间上实现二阶收敛，时间上实现经典收敛；而标准方法在非定常边界条件下失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在结构化网格上使用有限体积方法时，标准动量插值是否能在刚性精确的DIRK格式下，保持速度和压力的古典阶精度？
• RQ2 半离散Navier-Stokes系统的微分代数结构（索引-2）如何影响Runge-Kutta时间积分器的收敛行为？
• RQ3 能否设计一种新型动量插值框架，使时间积分中压力的古典阶精度得以恢复，即使在时变边界条件下亦成立？
• RQ4 动量插值格式对隐式Runge-Kutta时间积分中压力场的时间收敛性有何影响？
• RQ5 能否构造出低存储DIRK格式，使其在保持高阶精度与稳定性的同时，最小化有限体积模拟中的内存使用？

主要发现

• 所提出的动量插值框架确保在结构化网格上，GFISDM-Z与GFISDM-H格式的速度和压力均实现二阶空间收敛。
• 当使用SDIRK2和SDIRK3格式时，所提方法在非定常Dirichlet边界条件下，速度和压力的时间解仍能实现经典收敛阶（分别为二阶与三阶），即使在非定常边界条件下亦成立。
• 相比之下，标准方法在非定常边界条件下无法实现压力的二阶时间精度，仅达到一阶收敛。
• 在足够多Picard迭代下，SDIRK3在单位计算成本下的精度优于SDIRK2，尤其在强非线性问题中表现更优。
• 由于在每个内部阶段均强制满足离散连续性方程，即使提前终止Picard迭代，所提方法仍能保持最优收敛性。
• 该分析适用于静态、结构化笛卡尔网格与曲线网格，采用基于多项式的插值；结果不适用于变形网格，除非额外施加几何守恒律。