[论文解读] On the action of the dual group on the cohomology of perverse sheaves on the affine grassmannian

Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|May 2, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用 3

一句话总结

本文研究了对偶群 $G^{\widehat{}}$ 在仿射格拉斯曼ian $\mathrm{Gr}^G$ 上 perverse 她aves 的上同调上的作用，证明了与单根相关联的算子 $\mathbb{e}_i$ 和 $\mathbb{f}_i$ 满足 Serre 关系，从而在上同调上实现了泛包络代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ 的作用。关键结果是，$\mathrm{Gr}^G$ 上交上同调复形的上同调携带了 Langlands 对偶李代数 $\mathfrak{g}^\vee$ 的表示，且在拟最小权的情形下显式验证了 Serre 关系。

ABSTRACT

It was proved by Ginzburg and Mirkovic-Vilonen that the $G(O)$-equivariant perverse sheaves on the affine grassmannian of a connected reductive group $G$ form a tensor category equivalent to the tensor category of finite dimensional representations of the dual group $G^\vee$. The proof use the Tannakian formalism. The purpose of this paper is to construct explicitely the action of $G^\vee$ on the global cohomology of a perverse sheaf.

研究动机与目标

• 理解 Langlands 对偶群 $G^\vee$ 在仿射格拉斯曼ian $\mathrm{Gr}^G$ 上 $G(O)$-等变 perverse 她aves 的上同调上的作用。
• 建立 $\mathrm{Gr}^G$ 上交上同调复形的上同调携带泛包络代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ 的表示。
• 通过卷积作用在上同调上验证算子 $\mathbb{e}_i$ 和 $\mathbb{f}_i$ 的 Serre 关系。
• 通过限制到 Levi 子群和固定点簇，分析拟最小权 $\lambda^\vee$ 的 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ 的上同调结构。

提出的方法

• 使用 Mirković–Vilonen 卷积乘积在 $G(O)$-等变 perverse 她aves 于 $\mathrm{Gr}^G$ 上的范畴 $\mathcal{P}_G$ 上。
• 应用限制函子 $\mathrm{res}^{GM}$，将 $\mathcal{P}_G$ 与 $G$ 的 Levi 子群 $M\subset G$ 上的她aves 范畴联系起来。
• 通过卷积和限制诱导的算子 $\mathbb{e}_i$ 和 $\mathbb{f}_i$ 分析 $S_{\mu^\vee} \subset \overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ 的上同调。
• 研究 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee} \cap \mathrm{Gr}^{M_i}$ 的几何结构（$\lambda^\vee$ 为拟最小权），识别 torus 作用下的固定点集，并使用线丛 $\mathcal{L}(\lambda)$。
• 通过分析上同调的非零性并利用配对 $\langle \alpha_i, \mu^\vee \rangle$，验证 Serre 关系 $[\mathbb{e}_i, \mathbb{f}_j] = \delta_{ij} \mathbb{h}_i$。
• 利用 $H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee}) \neq 0$ 仅对特定 $\mu^\vee$ 成立，以约束算子的支集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对偶群 $G^\vee$ 如何作用于仿射格拉斯曼ian上 $G(O)$-等变 perverse 她aves 的上同调？
• RQ2 对于拟最小权的主导余权 $\lambda^\vee$，交上同调复形 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$ 的上同调结构如何？
• RQ3 与单根相关联的算子 $\mathbb{e}_i$ 和 $\mathbb{f}_i$ 是否在 $\mathrm{Gr}^G$ 的上同调中满足 Serre 关系？
• RQ4 在 $\overline{\mathrm{Gr}}_{\lambda^\vee}$ 上 torus 作用的固定点簇如何与上同调支集相关？

主要发现

• 在 $\mathrm{Gr}^G$ 上，交上同调复形 $\mathcal{IC}_{\lambda^\vee}$ 的上同调携带了泛包络代数 $U(\mathfrak{g}^\vee)$ 的表示。
• 对于拟最小权的主导余权 $\lambda^\vee$，上同调 $H^*_{c}(S_{\mu^\vee}, \mathcal{IC}_{\lambda^\vee})$ 仅当 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$，$\mu^\vee = 0$，或 $\mu^\vee = -\alpha_1^\vee$ 时非零。
• $\mathbb{e}_1$ 仅在 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$ 时非平凡作用，类似地 $\mathbb{f}_2$ 仅在 $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 1$ 时非平凡作用。
• 关系 $[\mathbb{e}_1, \mathbb{f}_2] = 0$ 成立，因为条件 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -1$ 且 $\langle \alpha_2, \mu^\vee + \alpha_1^\vee \rangle = 1$ 导致 $\langle \alpha_2, \mu^\vee \rangle = 4$，而这对 $\mu^\vee \in \Omega(\lambda^\vee)$ 不可能成立。
• 关系 $[\mathbb{e}_2, \mathbb{f}_1] = 0$ 同样通过反证法验证，因为 $\langle \alpha_1, \mu^\vee \rangle = -2$ 在 $\Omega(\lambda^\vee)$ 的约束下不可实现。