[论文解读] On the Action of the Symmetric Group on the Cohomology of Groups Related to (Virtual) Braids

Peter Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文研究了对称群 $S_n$ 在纯虚拟及非纯虚拟、平面辫子群的有理上同调上的作用。利用表示理论与 Koszul 对偶，本文将上同调模 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 分解为从一维表示诱导出的 $S_n$-模的直和，证明了统一的表示稳定性，并推导出这些上同调模的幂级数公式与 Hilbert 系数生成函数。此外，本文还表明，对于足够大的 $n$，交错表示的重数为零，从而恢复了普通纯辫子群的已知结果。

ABSTRACT

In this paper we consider the cohomology of four groups related to the virtual braids of [Kauffman] and [Goussarov-Polyak-Viro], namely the pure and non-pure virtual braid groups (PvB_n and vB_n, respectively), and the pure and non-pure flat braid groups (PfB_n and fB_n, respectively). The cohomologies of PvB_n and PfB_n admit an action of the symmetric group S_n. We give a description of the cohomology modules H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) as sums of S_n-modules induced from certain one-dimensional representations of specific subgroups of S_n. This in particular allows us to conclude that H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) are uniformly representation stable, in the sense of [Church-Farb]. We also give plethystic formulas for the Frobenius characteristics of these S_n-modules. We then derive a number of constraints on which S_n irreducibles may appear in H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q). In particular, we show that the multiplicity of the alternating representation in H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q) is identical, and moreover is nil for sufficiently large $n$. We use this to recover the (previously known) fact that the multiplicity of the alternating representation in H^i(PB_n,Q) is nil (here PB_n is the ordinary pure braid group). We also give an explicit formula for H^i(vB_n,Q) and show that H^i(fB_n,Q)=0. Finally, we give Hilbert series for the character of the action of S_n on H^i(PvB_n,Q) and H^i(PfB_n,Q). An extension of the standard `Koszul formula' for the graded dimension of Koszul algebras to graded characters of Koszul algebras then gives Hilbert series for the graded characters of the respective quadratic dual algebras.

研究动机与目标

• 理解对称群 $S_n$ 在纯虚拟与非纯虚拟、平面辫子群的有理上同调上的作用。
• 将上同调模 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 作为 $S_n$-表示进行分解。
• 为这些上同调模建立统一的表示稳定性。
• 推导 $S_n$-作用的分次特征的幂级数公式与 Hilbert 系数生成函数。
• 确定哪些不可约 $S_n$-表示会出现，特别是交错表示的约束。

提出的方法

• 通过纯辫子群群代数的关联分次代数分析上同调模。
• $S_n$ 在二次对偶代数 $\mathfrak{pvb}_n^!$ 与 $\mathfrak{pfb}_n^!$ 的最高次数分量上的作用被显式描述。
• 使用幂级数公式计算 $S_n$-模 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 的 Frobenius 特征。
• 为相关代数构造 Koszul 复形，并应用广义 Koszul 公式 $A_\sigma(z)A_\sigma^!(-z) = 1$ 推导特征关系。
• 利用特定子群的诱导表示结构，将上同调模描述为诱导 $S_n$-模的直和。
• 通过 Koszul 复形与特征分析，确立 $H^i(f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 的消失性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称群 $S_n$ 如何作用于纯虚拟辫子群 $P\negthinspace v\negthinspace B_n$ 的有理上同调？
• RQ2 上同调模 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 是否可表示为子群的一维表示所诱导的 $S_n$-模的直和？
• RQ3 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 作为 $S_n$-模的分解是否具有统一的表示稳定性？
• RQ4 在这些上同调模中，不可约 $S_n$-表示（尤其是交错表示）的出现存在何种约束？
• RQ5 $S_n$-作用于 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 的 Hilbert 系数与分次特征是什么？

主要发现

• 上同调模 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 被证明可分解为特定子群的一维表示所诱导的 $S_n$-模的直和。
• 这些上同调模在 Church 与 Farb 的意义下具有统一的表示稳定性，即当 $n$ 足够大时，其分解趋于稳定。
• $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 中交错表示的重数相同，且对充分大的 $n$ 为零。
• $H^i(f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 对所有 $i$ 均为零。
• $H^i(v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 通过广义 Koszul 公式显式计算得出。
• 推导出 $S_n$-作用于 $H^i(P\negthinspace v\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 与 $H^i(P\negthinspace f\negthinspace B_n,\mathbb{Q})$ 的分次特征的 Hilbert 系数生成函数，并利用 Koszul 公式将结果推广至二次对偶代数。