[论文解读] On the (adjacency) metric dimension of corona and strong product graphs and their local variants: combinatorial and computational results

Juan A. Rodríguez‐Velázquez, Henning Fernau|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 22被引用 13

一句话总结

本文引入了局部邻接度量维数，并建立了冠图积图的（局部）度量维数与其因子图的（局部）邻接度量维数之间的精确关系。证明了阶为 $ n $ 的图与非平凡图 $ H $ 的冠图积的度量维数等于 $ H $ 的局部邻接度量维数的 $ n $ 倍，从而通过从顶点覆盖和支配集问题的约化，得出了计算这些参数的新 NP-难结果。

ABSTRACT

The metric dimension is quite a well-studied graph parameter. Recently, the adjacency metric dimension and the local metric dimension have been introduced. We combine these variants and introduce the local adjacency metric dimension. We show that the (local) metric dimension of the corona product of a graph of order $n$ and some non-trivial graph $H$ equals $n$ times the (local) adjacency metric dimension of $H$. This strong relation also enables us to infer computational hardness results for computing the (local) metric dimension, based on according hardness results for (local) adjacency metric dimension that we also provide. We also study combinatorial properties of the strong product of graphs and emphasize the role different types of twins play in determining in particular the adjacency metric dimension of a graph.

研究动机与目标

• 引入并形式化局部邻接度量维数作为图维数参数的新变体。
• 建立冠图积图的（局部）度量维数与其中各分量的（局部）邻接度量维数之间的精确组合公式。
• 利用这些公式推导出计算度量维数参数的计算困难性结果。
• 研究孪等价类在确定邻接度量维数中的作用，特别是在强积图中。
• 在指数时间假设（ETH）下，提供局部度量维数与局部邻接度量维数的 NP-完全性与指数时间下界结果。

提出的方法

• 将局部邻接度量维数定义为：基于邻域交集，能够区分所有不在集合 $ S $ 中的相邻顶点对的最小集合 $ S $ 的大小。
• 证明冠图积 $ G ullet H $ 的（局部）度量维数，其中 $ G $ 的阶为 $ n $，等于 $ H $ 的局部邻接度量维数的 $ n $ 倍，即 $ n \times \text{dim}_{A,l}(H) $。
• 利用该公式，将已知的 NP-难问题（如顶点覆盖和支配集）约化至局部邻接度量维数的计算问题。
• 通过从 3-SAT 的直接约化，证明 LocAdjDim 的 NP-完全性，其结构与标准的顶点覆盖证明类似。
• 应用指数时间假设（ETH），证明除非 ETH 失效，否则不存在 $ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ 时间复杂度的算法来求解 LocAdjDim 或 Dim。
• 分析孪等价类在强积图中的作用，表明其对邻接度量维数的 NP-难性具有决定性影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 冠图积图的度量维数与因子图的局部邻接度量维数之间的确切关系是什么？
• RQ2 局部邻接度量维数能否被高效计算，还是其为 NP-难？
• RQ3 一般图中局部度量维数的计算复杂性如何？其在平面图中是否依然困难？
• RQ4 孪等价类如何影响强积图中邻接度量维数？
• RQ5 图积的组合公式能否用于推导图维数参数的新困难性结果？

主要发现

• 冠图积 $ G ullet H $ 的（局部）度量维数，其中 $ G $ 的阶为 $ n $，恰好等于 $ H $ 的局部邻接度量维数的 $ n $ 倍。
• 局部邻接度量维数为 NP-完全，且在假设 ETH 成立的前提下，不存在 $ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ 时间复杂度的算法来求解它。
• 局部度量维数同样为 NP-完全，且在 ETH 下，不存在形式为 $ O(\text{pol}(n+m)2^{o(n)}) $ 的亚指数时间算法。
• 局部邻接度量维数的 NP-难性即使在平面图中依然成立，这是通过 3-SAT 约化证明的。
• 孪等价类对邻接度量维数的 NP-难性具有关键作用，这一点通过定理 27 中的公式以及约化结构得以证实。
• 结果可推广至强积图，其中孪结构在决定邻接度量维数中起着核心作用。