[论文解读] On the affine analogue of Jack's and Macdonald's polynomials

Pavel Etingof, Alexander Kirillov|ArXiv.org|Mar 28, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 15

一句话总结

本文为仿射根系 $\hat{A}_{n-1}$ 引入了杰克多项式与麦克唐纳多项式的仿射类比，通过仿射萨瑟兰算符将其构造为特征函数，并通过仿射李代数 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 与量子仿射代数的表示中互化算子的迹来实现。关键贡献在于将麦克唐纳的内积与特殊值恒等式推广至仿射情形，同时提出了模群作用的幺正性猜想，并与共形场论中的内积建立了联系。

ABSTRACT

We define the analogue of Jack's (Jacobi) polynomials, which were defined for finite-dimensional root system by Heckman and Opdam as eigenfunctions of trigonometric Sutherland operator for the affine root system $\hat A_{n-1}$. In the affine case, we define the polynomials as eigenfunctions of "affine Sutherland operator", which is Calogero-Sutherland operator with elliptic potential plus the term involving derivative with respect to the modular parameter. We show that such polynomials can be constructed explicitly as traces of certain intertwiners for affine Lie algebra. Also, we define the q-analogue of this construction, which gives affine analogues of Macdonald's polynomials, and show the (conjectured) relation between the Macdonald's inner product identities for affine case and scalar product of conformal blocks in the WZW model.

研究动机与目标

• 为仿射根系 $\hat{A}_{n-1}$ 定义并研究杰克多项式与麦克唐纳多项式的仿射类比，扩展有限维理论。
• 通过 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 模中互化算子的重归一化迹，建立这些多项式的表示论构造。
• 将可积模特征标模不变性性质推广至整个仿射杰克多项式空间。
• 猜想仿射麦克唐纳特殊值恒等式的类比，并探讨仿射杰克多项式空间上模群作用的幺正性。
• 将仿射杰克多项式上的内积与威斯-祖米诺-威滕模型中共形块的内积联系起来，暗示对发散的有限维内积的正则化。

提出的方法

• 将仿射萨瑟兰算符定义为具有椭圆系数的抛物型微分算符，推广有限维萨瑟兰算符。
• 通过类比有限情形的三角性条件与特征值性质，将仿射杰克多项式构造为该仿射萨瑟兰算符的特征函数。
• 将仿射杰克多项式实现为 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 的韦尔马模与赋值表示之间互化算子的迹，推广 [EK2] 中的有限维构造。
• 通过量子仿射代数中互化算子的迹，将仿射麦克唐纳多项式定义为仿射杰克多项式的 $q$-变形。
• 研究固定等级下仿射杰克多项式张成空间的模性质，证明其在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 作用下是模不变的，且具有明确的权。
• 猜想该空间上模群的射影表示在非平凡内积下是幺正的，可能与共形块内积一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将杰克多项式与麦克唐纳多项式推广至仿射根系 $\hat{A}_{n-1}$，同时保持其作为特征函数与三角基的定义性质？
• RQ2 仿射杰克多项式在 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 仿射李代数互化算子中的表示论解释是什么？
• RQ3 仿射杰克多项式是否满足类似于可积模特征标那样的模不变性性质？
• RQ4 仿射杰克多项式空间上的内积是否为幺正的？是否与威斯-祖米诺-威滕模型中共形块的内积一致？
• RQ5 能否为仿射麦克唐纳多项式提出并证明一个仿射麦克唐纳特殊值恒等式的类比？

主要发现

• 仿射杰克多项式被定义为仿射萨瑟兰算符的特征函数，该算符是具有椭圆函数系数的抛物型微分算符。
• 这些多项式作为 $\widehat{\mathfrak{sl}}_n$ 的韦尔马模与赋值表示之间互化算子的重归一化迹而出现，推广了有限维情形的构造。
• 固定等级的仿射杰克多项式空间在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 作用下是模不变的，且具有明确的权，推广了特征标的模不变性。
• 仿射杰克多项式空间上模群的射影表示可能是无穷维的，与有限维特征标情形不同。
• 仿射杰克多项式上的内积被猜想为幺正的，并与威斯-祖米诺-威滕模型中共形块的内积一致，其正则化由麦克唐纳内积恒等式在 $p \to 1$ 附近的性质所暗示。
• 为仿射麦克唐纳多项式提出了一个仿射麦克唐纳特殊值恒等式的类比，右侧以有理数点处的 $\Gamma$-函数表达，与已知共形场论结果一致。