[论文解读] On the Albanese map for smooth quasi-projective varieties

M. Spieß, Tamás Szamuely|ArXiv.org|Sep 1, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文将 Roitman 的关于阿勒比尼安映射的定理推广至具有光滑紧化的光滑拟射影概形，证明从零度代数奇异同调到广义阿勒比尼安簇的映射在素数不整除 p 的挠子群上诱导出同构。该结果推广了有限域上 Kato-Saito 的结果，并通过 Voevodsky 的范畴中的 motivic 同伦理论与对偶性，借助奇异上同调与 étale 上同调群的比较，建立了同构。

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field and X a smooth projective k-variety. A famous theorem of A. A. Roitman states that the canonical map from the degree zero part of the Chow group of zero cycles on X to the group of k-points of its Albanese variety induces an isomorphism on torsion prime to the characteristic of k. In the present paper we prove a generalisation to quasi-projective varieties admitting a smooth compactification. As was first observed by Ramachandran, for such a generalisation one should replace the Chow group of zero cycles by Suslin's 0-th algebraic singular homology group and the Albanese variety by the generalised Albanese of Serre. The method of proof is new even in the projective case and makes the motivic nature of the Albanese transparent. We also prove that the generalised Albanese map is an isomorphism if k is the algebraic closure of a finite field.

研究动机与目标

• 将 Roitman 关于阿勒比尼安映射的定理从完备概形推广至具有光滑紧化的光滑拟射影概形。
• 在非完备情形下，利用广义阿勒比尼安簇证明阿勒比尼安映射在挠子群上的双射性。
• 将 Kato-Saito 在有限域上的结果推广至拟射影情形，证明阿勒比尼安映射是有限余秩挠群的同构。
• 通过 Voevodsky 的有效 motivic 复形三角范畴与对偶定理，提供一个概念性的证明。

提出的方法

• 使用 Suslin 的代数奇异同调群 $h_0(X)^0$ 作为阿勒比尼安映射的定义域，这在完备情形下推广了 $CH_0(X)^0$。
• 将广义阿勒比尼安簇解释为 Voevodsky 的范畴 $DM^{eff}_{-}(k)$ 中的对象，利用其函子性与同伦不变性。
• 应用 Suslin 与 Voevodsky 的基本同构关系，即 $h^1(X, ζ/nζ)$ 与 $H^1_{ét}(X, ζ/nζ)$ 之间的同构，以关联奇异上同调与 étale 上同调。
• 利用广义阿勒比尼安簇与 Picard 丛之间的对偶性，确立目标群的结构。
• 运用可除性类域论与伽罗瓦余不变量分析有限域上阿勒比尼安群的结构。
• 通过超平面截面论证将问题约化至曲线情形，并利用曲线阿勒比尼安映射的已知结果推导出一般情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有光滑紧化的光滑拟射影概形 $X$，阿勒比尼安映射 $h_0(X)^0 \to Alb_X(k)$ 是否在素数不整除 p 的挠子群上诱导同构？
• RQ2 Kato-Saito 在正特征代数闭域上关于阿勒比尼安映射双射性的结果，能否推广至非完备情形？
• RQ3 广义阿勒比尼安映射是否与有限域上可除性类域论中的互反律相容？
• RQ4 阿勒比尼安映射能否被解释为 Voevodsky 的有效 motivic 复形三角范畴中的态射？

主要发现

• 对于任意代数闭域 $k$ 上的光滑拟射影概形 $X$，若其具有光滑紧化，则阿勒比尼安映射 $alb_X: h_0(X)^0 \to Alb_X(k)$ 在素数不整除 p 的挠子群上诱导同构。
• 在正特征代数闭域（即有限域的代数闭包）上，映射 $alb_X$ 是有限余秩挠群的同构。
• 证明依赖于将阿勒比尼安映射识别为 Voevodsky 的范畴 $DM^{eff}_{-}(k)$ 中的态射，从而可应用 motivic 对偶性与上同调比较定理。
• 关键技术步骤是 $h^1(X, ζ/nζ)$ 与 $H^1_{ét}(X, ζ/nζ)$ 之间的同构，该同构使得上同调信息可传递至阿勒比尼安群。
• 该结果将 Roitman 定理推广至拟射影情形，并将 Kato-Saito 的结果扩展至非完备情形。
• 副产品是自然映射 $h_0(X_{ε}) \to h_0(X)$ 的核是有限群，且同构于互反序列中的群 $T$，从而确认了同调群的结构性质。