[论文解读] On the almost sure running maxima of solutions of affine neutral stochastic functional differential equations

John A. D. Appleby, Huizhong Appleby-Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文確立了具有有限時滞的仿射中立随机泛函微分方程解的運行最大值的精確幾乎必然增長速率。透過利用確定性預解式的指數衰減性質，並結合高斯過程理論，作者證明運行最大值幾乎必然以與 √(2 log t) 成比例的速率增長，增長係數由系統的擴散係數和預解式性質決定。

ABSTRACT

This paper studies the large fluctuations of solutions of finite--dimensional affine stochastic neutral functional differential equations with finite memory, as well as related nonlinear equations. We find conditions under which the exact almost sure growth rate of the running maximum of each component of the system can be determined, both for affine and nonlinear equations. The proofs exploit the fact that an exponentially decaying fundamental solution of the underlying deterministic equation is sufficient to ensure that the solution of the affine equation converges to a stationary Gaussian process.

研究动机与目标

• 確立仿射中立隨機泛函微分方程（SNFDE）解的運行最大值的精確幾乎必然增長速率。
• 將現有的穩定性理論擴展至非漸近穩定的 SNFDE，重點關注大波動而非收斂性。
• 建立條件，使解過程因指數衰減的預解式而表現為平穩高斯過程。
• 使用基於測度的表述方法，分析點時滞與分佈時滞。
• 在適當衰減條件下，將結果推廣至仿射 SNFDE 的弱非線性擾動。

提出的方法

• 利用基礎確定性方程的微分預解式，假設指數衰減以確保解的漸近平穩性。
• 將仿射 SNFDE 的解表示為具有連續可微預解式的相關非中立 SFDE 的擾動，從而重用先前研究的分析技術。
• 運用範數等價性與最大不等式論證，控制過程在時間區間上的本質上確界。
• 對極限定義的高斯過程應用迭代對數定律，推導運行最大值的幾乎必然增長速率。
• 使用 ε-近似與 Gronwall 型不等式結合的自舉論證，以界定原始過程與輔助過程之間的差異。
• 透過對歸一化過程的上極限與下極限分析，確立歸一化運行最大值的幾乎必然收斂性至一確定常數。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限時滞的仿射中立 SFDE 解的運行最大值的精確幾乎必然增長速率為何？
• RQ2 在何種條件下，仿射 SNFDE 的解會收斂至平穩高斯過程？
• RQ3 中立項（延遲導數）的存在如何影響與非中立方程相比的幾乎必然漸近行為？
• RQ4 當預解式不可微時（如中立方程中），能否對運行最大值的增長速率進行表徵？
• RQ5 結果在多大程度上可推廣至仿射 SNFDE 的非線性擾動？

主要发现

• 解過程各分量的運行最大值幾乎必然以與 √(2 log t) 成比例的速率增長，增長係數等於擴散係數矩陣的第 i 個分量 σ_i。
• 對每個分量 i，幾乎必然有 limsup_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i。
• 幾乎必然有 liminf_{t→∞} |X_i(t)| / √(2 log t) = σ_i，表示歸一化過程在增長速率 σ_i 附近振盪。
• 解的最大範數滿足 limsup_{t→∞} |X(t)|_∞ / √(2 log t) = max_{1≤i≤d} σ_i 幾乎必然。
• 解 X(t) 與其極限定義的高斯過程 Y(t) 之間的差異相對於 √(2 log t) 可忽略，即 |X_i(t) - Y_i(t)| / √(2 log t) → 0 幾乎必然。
• 在非線性部分相對於線性部分漸近可忽略的條件下，結果可推廣至仿射 SNFDE 的弱非線性擾動。