[论文解读] On the Aluthge transform: continuity properties and Brown measure

Ken Dykema, Hanne Schultz|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 2

一句话总结

本文研究了在迹 von Neumann 代数中一个有界线性算子 T 的阿鲁思特变换，证明了其在范数和 ∗–SOT 拓扑下的连续性。它建立了布朗测度在阿鲁思特变换下的不变性，并表明迭代阿鲁思特变换收敛于一个与 T 具有相同布朗测度的正规算子，使用一个二项式加权的遍历型定理作为关键的技术工具。

ABSTRACT

space operator T, where T = U|T | is the polar decomposition of T. We prove that the map T ↦ → � T is continuous with respect to the norm topology and with respect to the ∗–SOT topology on bounded sets. For T in a tracial von Neumann algebra, we show that the Brown measure is unchanged by the Aluthge transform. We consider the special case when U implements an automorphism of the von Neumann algebra generated by the positive part |T | of T, and we prove that the iterated Aluthge transform converges to a normal operator whose Brown measure agrees with that of T (and we compute this Brown measure). This proof relies on a theorem that is an analogue of von Neumann’s mean ergodic theorem, but for sums weighted by binomial coefficients. 1.

研究动机与目标

• 分析阿鲁思特变换在范数和 ∗–SOT 拓扑下的连续性性质。
• 研究在迹 von Neumann 代数中布朗测度在阿鲁思特变换下的行为。
• 在酉部分在 |T| 生成的代数上实现自同构的条件下，确定迭代阿鲁思特变换的极限。
• 建立一个涉及二项式系数的新遍历型定理，作为收敛性分析的工具。

提出的方法

• 阿鲁思特变换定义为 \tilde{T} = |T|^{1/2} U |T|^{1/2}，其中 T = U|T| 是 T 的极分解。
• 通过在有界集上使用范数和 ∗–SOT 收敛，证明了阿鲁思特变换的连续性。
• 在迹 von Neumann 代数中的算子上，建立了布朗测度在阿鲁思特变换下的不变性。
• 发展了一种类比冯诺依曼平均遍历定理的二项式加权遍历定理，使迭代变换的收敛性分析成为可能。
• 在酉 U 在 |T| 生成的 von Neumann 代数上实现自同构的假设下，证明了迭代阿鲁思特变换收敛于一个正规算子。
• 计算并证明了极限正规算子的布朗测度与原始算子 T 的布朗测度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿鲁思特变换在有界算子上的范数拓扑下是否连续？
• RQ2 在迹 von Neumann 代数中，布朗测度在阿鲁思特变换下是否保持不变？
• RQ3 在何种条件下，迭代阿鲁思特变换收敛于一个正规算子？
• RQ4 能否构造一个二项式加权的遍历型定理以分析迭代变换的收敛性？
• RQ5 由迭代阿鲁思特变换产生的极限正规算子的布朗测度是什么？

主要发现

• 阿鲁思特变换在有界集上关于范数拓扑是连续的。
• 阿鲁思特变换在有界集上关于 ∗–SOT 拓扑是连续的。
• 在迹 von Neumann 代数中，算子的布朗测度在阿鲁思特变换下保持不变。
• 当酉部分 U 在 |T| 生成的 von Neumann 代数上实现自同构时，迭代阿鲁思特变换收敛于一个正规算子。
• 极限正规算子的布朗测度与原始算子 T 的布朗测度相同。
• 收敛性通过一个新颖的、由二项式系数加权的遍历型定理建立，该定理类比于冯诺依曼的平均遍历定理。