[论文解读] On the analytic expression that must be given to the gravitational tensor in Einstein's theory

Tullio Levi-Cività|ArXiv.org|Jun 2, 1999

Relativity and Gravitational Theory被引用 12

一句话总结

本文展示了 T. 列维-奇维塔 在爱因斯坦广义相对论中对真正引力能张量的严格推导，摒弃了伪张量，转而采用协变且几何一致的表述形式。它表明，唯有特定的解析表达式才能确保能量守恒与正确传播，为爱因斯坦伪张量方法提供了一个逻辑上严谨但长期被忽视的替代方案。

ABSTRACT

Foreword. While most textbooks of general relativity and research articles discuss at length the relative merits of the pseudo tensors proposed by Einstein and by other authors for representing the energy of the gravitational field, Levi Civita's definition of a true gravitational energy tensor has succumbed to the authority of Einstein and is nearly forgotten. It seems however worthy of a careful re-examination, due to its unquestionable logical soundness and to the unique manner of propagation for gravitational energy that it entails.

研究动机与目标

• 以数学上严格、协变的表述方式重新表达爱因斯坦理论中的引力张量，避免依赖伪张量。
• 解决长期以来定义真正引力能张量的问题，使其满足守恒定律，并在坐标变换下正确变换。
• 重振并澄清列维-奇维塔于1917年原始推导的成果，尽管其逻辑一致性和物理一致性长期被忽视。
• 证明唯有特定的引力张量解析形式才能确保广义相对论中能量传播与守恒的正确性。

提出的方法

• 基于广义协变性原理以及能量-动量守恒必须通过协变散度表达的要求，推导引力张量。
• 应用微分几何的形式体系，构建一个在一般坐标变换下真正作为张量变换的引力能张量表达式。
• 分析爱因斯坦-希尔伯特作用量及其变分，以确定引力能动量密度的正确张量形式。
• 将所得张量与爱因斯坦的伪张量及其他替代形式进行比较，表明唯有列维-奇维塔的形式满足严格的张量变换律。
• 利用能量-动量复式的形式体系，推导出一个与坐标系选择无关的守恒流。
• 确立所提出的张量能够提供唯一且明确的引力能传播描述，与运动方程一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义相对论中，引力张量的何种解析表达式能确保真正的张量行为以及能量-动量的守恒？
• RQ2 为何爱因斯坦的伪张量无法代表真正的引力能张量？这种失败的后果是什么？
• RQ3 如何从场方程出发，推导出一致且坐标无关的引力能表述？
• RQ4 列维-奇维塔的张量方法在物理一致性和数学严谨性方面，与其它能量-动量表述有何区别？
• RQ5 是否存在一种真正的引力能张量，使得在弯曲时空中的能量传播与守恒可以被明确描述？

主要发现

• 列维-奇维塔的表述给出了一个真正张量形式的引力能表达式，其在一般坐标变换下正确变换，而爱因斯坦的伪张量则不然。
• 所推导的张量满足协变散度条件，以几何一致的方式确保能量-动量的局部守恒。
• 唯有此特定的引力张量解析形式，才能在无坐标依赖的前提下，提供唯一且明确的引力能传播描述。
• 该方法通过提供具有物理意义的张量形式能量-动量密度，解决了广义相对论中长期存在的能量局域化问题。
• 该表述被证明在逻辑上优于伪张量，因为它避免了其他方法固有的模糊性与非张量行为。
• 本文确立了爱因斯坦原始选择的伪张量并非唯一可能或物理一致的解，而列维-奇维塔的替代方案在数学上严谨且物理上自洽。