[论文解读] On the analytic extension of regular rotating black holes

Tian Zhou, Leonardo Modesto|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2023

Astrophysical Phenomena and Observations被引用 4

一句话总结

本文研究了通过 Newman-Janis 算法导出的常规旋转黑洞（RRBHs）的解析延拓，表明大多数此类时空需要延伸至负 $ r $，在该区域它们在环处变得奇异或非解析。为解决此问题，作者提出将恒定角动量 $ a $ 替换为径向函数 $ a' = a r^4/(r^4 + L^4) $，该函数使环收缩为一点，恢复曲率不变量的正则性，确保测地线完备性及 $ r=0 $ 处的解析性。

ABSTRACT

We hereby focus on the analytic geodesic extension of several regular rotating black holes (RRBHs) obtained throughout the Newman-Janis algorithm starting from some popular spherically symmetric regular black holes. It turns out that if the metric is not an even function of Boyer-Lindquist radial coordinate r, similarly to the Kerr spacetime, the metric has to be extended to negative values of r to ensure the analyticity of the geodesic equations (and in turn of the geodesics). Therefore, some of the extended RRBHs considered in this paper, such as the rotating Hayward black hole, are geodetically incomplete because they are singular somewhere for r < 0, and non-analytic at the ring located in $(r = 0, {θ= π/2})$. Conversely, other spacetimes, like nonlocal black holes, can be analytically extended to negative r. However, the real issue shows up at the ring, where, unfortunately, all the RRBHs studied in this paper fail to be regular. Indeed, at the ring, the Kretschmann invariant is finite but nonanalytic, while the higher derivative curvature invariants are divergent. In order to avoid such catastrophe, we propose a modification of the RRBHs in which the angular momentum is promoted to a function of the radial coordinate. According to our proposal, the angular momentum vanishes for $r ightarrow 0$ and the ring shrinks to a point. Therefore, the regularity properties of the regular spherically symmetric black holes are recovered for $r ightarrow 0$.

研究动机与目标

• 评估通过 Newman-Janis 算法从球对称常规黑洞导出的常规旋转黑洞（RRBHs）的解析性与测地线完备性。
• 识别 RRBH 在环奇点处保持正则与测地线完备性的条件。
• 通过将角动量修改为径向坐标的函数，解决环处非解析性与曲率发散的问题。
• 确保与量子引力原理（如涉及高阶导数曲率不变量的有限作用量原理）相容。
• 提出一种可行且物理自洽的 RRBH 模型，避免奇点并保持广义相对论中的可预测性。

提出的方法

• 将 Newman-Janis 算法应用于球对称常规黑洞（如 Hayward、Dymnikova）以生成旋转对应物。
• 通过仿照 Kerr 时空的最大延拓，将时空延伸至负 $ r $，分析测地线方程的解析性。
• 评估曲率不变量（尤其是 Kretschmann 标量与高阶导数不变量）在 $ r=0 $ 附近及环处（$ r=0, \theta=\pi/2 $）的行为。
• 提出依赖径向的角动量函数 $ a' = a r^4/(r^4 + L^4) $，确保当 $ r \to 0 $ 时 $ a' \to 0 $，从而在中心恢复球对称性。
• 评估此修改对测地线完备性与解析性的影响，与共形引力及非解析质量函数进行比较。
• 利用作用量自然选择原理论证：仅具有有限高阶导数不变量的度规才对量子路径积分有贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 常规旋转黑洞的解析延拓至负 $ r $ 是否保持测地线与曲率不变量的正则性？
• RQ2 为何所有标准 RRBH 尽管在 $ r=0 $ 处正则，仍无法实现测地线完备性，环奇点在此中起何作用？
• RQ3 能否将角动量设为 $ r $ 的函数，以消除环处高阶导数曲率不变量的非解析性与发散？
• RQ4 所提出的依赖径向的角动量 $ a' $ 如何在 $ r=0 $ 附近恢复时空的正则性与解析性？
• RQ5 此修改对量子引力有何影响，特别是与有限作用量原理及路径积分对可行时空的选择关系如何？

主要发现

• 通过最大延拓的旋转 Hayward、重整化群改进型及 Dymnikova 黑洞在 $ r<0 $ 区域奇异，违反了测地线方程的解析性。
• 所有标准 RRBH 在环处（$ r=0, \theta=\pi/2 $）表现出非解析行为与高阶导数曲率不变量发散，尽管 Kretschmann 标量有限。
• 所提出的修正 $ a' = a r^4/(r^4 + L^4) $ 确保当 $ r \to 0 $ 时 $ a' \to 0 $，使环收缩为一点，恢复曲率不变量的正则性。
• 此修正恢复了解析性与测地线完备性，因 $ r=0 $ 附近的时空变为球对称且满足 $ r \to -r $ 不变性，符合先前关于球对称常规黑洞的研究条件。
• 所得时空与量子引力中的有限作用量原理相容，因高阶导数不变量保持有限。
• 其他模型（如共形引力黑洞或非解析质量函数）也可实现测地线完备性，但代价是失去解析性或需引入非标准动力学。