[论文解读] On the Annihilation of Thin Sets

Tomer Amit, Alexander Olevskiı̆|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2017

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明：若集合 $ S \subset \mathbb{R} $ 具有有限测度且具有周期性间隙，且 $ Q \subset \mathbb{R} $ 的密度为零，则对 $ (S, Q) $ 为弱消去对——即不存在非零的 $ L^2 $ 函数同时在 $ S $ 上有支撑且其傅里叶变换在 $ Q $ 上有支撑。然而，一般情况下强消去不成立，通过一个反例表明此类对不满足一致的 $ L^2 $-范数控制条件。

ABSTRACT

One says that a pair of sets $(S,Q)$ in $\mathbb{R}$ is 'annihilating' if no function can be concentrated on $S$ while having its Fourier transform concentrated on $Q$. One uses to distinguish between weak and strong annihilation types. It is well known that if both sets $S$ and $Q$ are of finite measure then they are strongly annihilating. In this paper we prove that if $S$ is a set of finite measure with periodic gaps, and $Q$ is a set of density zero, then weak annihilation holds. On the other hand a counter-example is constructed, showing that strong annihilation, in general, does not.

研究动机与目标

• 研究具有有限测度和周期性间隙的集合 $ S $ 与密度为零的集合 $ Q $ 的对 $ (S, Q) $ 的消去性质。
• 确定此类对是否满足弱消去或强消去，与有限测度集合的已知结果形成对比。
• 构造一个反例，表明在这些条件下强消去性一般不成立。
• 将调和分析中不确定性原理的理解扩展至对称或有界谱设置之外。

提出的方法

• 使用 Paley-Wiener 空间 $ \mathrm{PW}_S $ 的框架，其定义为 $ L^2(S) $ 在傅里叶逆变换下的像。
• 应用 $ \mathrm{PW}_S $ 的唯一性集（US）概念，即若函数在集合 $ \Lambda $ 上消失，则必恒为零。
• 采用 [OU11] 中的引理 1，该引理将 $ \mathrm{PW}_S $ 的唯一性集构造为平移集合 $ Z_j + a_j $ 的并集，其中 $ \{a_j\} $ 在 $[0,1]$ 中稠密。
• 利用 Beurling-Malliavin 定理（定理 B），确保某些整数集是基于 $ L^1 $ 的傅里叶空间的唯一性集。
• 构造一列函数 $ f_n \in \mathrm{PW}_{S_n} $，其在具有周期性间隙且测度较小的集合 $ S_n $ 上有支撑，使得 $ \|f_n\|_{L^2(Q_n^c)} \leq \frac{1}{n}\|f_n\|_{L^2} $。
• 通过不相交并集将这些函数组合成全局对 $ (S, Q) $，确保 $ Q $ 的密度为零，且 $ S $ 具有周期性间隙和有限测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，具有有限测度的 $ S $ 与密度为零的 $ Q $ 的对 $ (S, Q) $ 满足弱消去？
• RQ2 当 $ S $ 具有周期性间隙时，即使 $ Q $ 的测度为无穷，是否仍可建立弱消去性质？
• RQ3 在相同条件下，强消去是否保持成立？或可构造反例？
• RQ4 $ S $ 中周期性间隙的结构与 $ Q $ 的密度为零条件之间如何相互作用，从而影响消去性质？
• RQ5 所构造的反例能否在 [SVW98] 的意义下实现 $ \epsilon $-纤细性，即相对于到原点的距离控制间隙大小？

主要发现

• 若 $ S $ 具有有限测度且具有周期性间隙，且 $ Q $ 的密度为零，则 $ (S, Q) $ 为弱消去对：不存在非零的 $ L^2 $ 函数同时在 $ S $ 上有支撑且其傅里叶变换在 $ Q $ 上有支撑。
• 构造了一个反例，其中 $ S $ 具有有限测度和周期性间隙，$ Q $ 的密度为零，但 $ (S, Q) $ 不是强消去对。
• 该反例使用一列函数 $ f_n \in \mathrm{PW}_{S_n} $，满足 $ \|f_n\|_{L^2(Q_n^c)} \leq \frac{1}{n}\|f_n\|_{L^2} $，表明强消去中一致控制的失败。
• 反例中的集合 $ Q $ 可对任意 $ \epsilon > 0 $ 实现 $ \epsilon $-纤细性，且随着 $ |x| \to \infty $，纤细性增强，满足条件 $ |Q \cap [x - \rho(x), x + \rho(x)]| \leq 2\epsilon \rho(x) $。
• 构造确保 $ S = \bigcup_n S_n $ 具有有限测度和周期性间隙，而 $ Q = \bigcup_n (Q_n + 2N) $ 的密度为零。
• 证明依赖于 Beurling-Malliavin 定理，以及使用 Fejér 核来局部化 $ f_n $ 在 $ Q_n $ 上的 $ L^2 $-范数，同时控制其在 $ Q_n $ 外的范数。