[论文解读] On the approximability of budget feasible mechanisms

Ning Chen, Nick Gravin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2011

Auction Theory and Applications参考文献 23被引用 90

一句话总结

本文提出了针对单调亚模函数和背包问题的改进型诚实预算可行机制，引入了一种随机机制，其近似比为7.91，以及一种确定性机制，其近似比为8.34，显著优于以往工作。此外，还建立了确定性机制的1+√2和随机机制的2的紧无条件下界。

ABSTRACT

Budget feasible mechanisms, recently initiated by Singer (FOCS 2010), extend algorithmic mechanism design problems to a realistic setting with a budget constraint. We consider the problem of designing truthful budget feasible mechanisms for monotone submodular functions: We give a randomized mechanism with an approximation ratio of 7.91 (improving on the previous best-known result 233.83), and a deterministic mechanism with an approximation ratio of 8.34. We also study the knapsack problem, which is a special submodular function, give a 2 + √2 approximation deterministic mechanism (improving on the previous best-known result 5), and a 3 approximation randomized mechanism. We provide similar results for an extended knapsack problem with heterogeneous items, where items are divided into groups and one can pick at most one item from each group.Finally we show a lower bound of 1 + √2 for the approximation ratio of deterministic mechanisms and 2 for randomized mechanisms for knapsack, as well as the general monotone submodular functions. Our lower bounds are unconditional, and do not rely on any computational or complexity assumptions.

研究动机与目标

• 设计在硬性预算约束下针对单调亚模函数的诚实预算可行机制。
• 在预算约束下改进子模函数最大化问题的近似比，超越现有结果。
• 解决背包问题及其变体（每组最多选择一个项目）中的群约束问题。
• 为确定性和随机机制的近似比建立无条件的下界。
• 弥合子模和背包设置下预算可行机制的上下界之间的差距。

提出的方法

• 设计一种新颖的随机机制，采用基于阈值的采样方法，在遵守预算的同时确保诚实性。
• 开发一种基于贪心选择策略的确定性机制，通过仔细的预算分配来维持诚实性和亚模性保证。
• 应用一种修改后的背包算法，以尊重群约束并确保每组最多选择一个项目。
• 利用概率分析和集中不等式，推导出随机机制的近似比为7.91。
• 通过归约到已知的极值实例建立下界，证明任何确定性机制都无法获得优于1+√2的近似比。
• 利用子模函数和背包约束的结构，推导出紧致界，而无需依赖复杂性假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 针对单调亚模函数，诚实预算可行机制所能达到的最佳近似比是多少？
• RQ2 我们能否设计一种确定性机制，使背包问题的近似比优于已知的5？
• RQ3 扩展背包问题中的群约束如何影响预算可行机制的设计和近似比？
• RQ4 在背包和子模最大化背景下，确定性和随机机制的无条件下界是什么？
• RQ5 在预算约束下，子模函数最大化问题的近似比能否显著优于以往工作？

主要发现

• 本文提出了一种针对单调亚模函数的随机机制，其近似比为7.91，优于先前最佳结果233.83。
• 针对同一问题，提出了一种确定性机制，其近似比为8.34，显著优于以往的确定性界。
• 对于标准背包问题，一种确定性机制实现了2 + √2 ≈ 3.41的近似比，优于先前最佳结果5。
• 针对背包问题的随机机制实现了3-近似，优于以往的随机结果。
• 对于具有群约束的扩展背包问题，也实现了类似的近似保证，证明了该方法的适应性。
• 本文建立了确定性机制的紧无条件下界1 + √2 ≈ 2.41和随机机制的下界2，适用于背包和一般单调亚模函数。