[论文解读] On the Approximability of Presidential Type Predicates

Neng Huang, Aaron Potechin|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 13被引用 2

一句话总结

本文证明，几乎所有总统型谓词——即在平衡线性阈值函数中，'总统'变量的权重显著高于其他变量——可通过一种新颖的舍入方案实现近似，该方案利用了半定规划中的个体偏差和成对偏差。关键结果表明，当arity k 足够大且权重 δk 满足 δ ∈ (δ₀, 1 − 2/k] 时，此类谓词可实现常数因子近似，证明了成对偏差在超越低阶方案实现此类近似中具有不可或缺的作用。

ABSTRACT

Given a predicate $P: \{-1, 1\}^k o \{-1, 1\}$, let $CSP(P)$ be the set of constraint satisfaction problems whose constraints are of the form $P$. We say that $P$ is approximable if given a nearly satisfiable instance of $CSP(P)$, there exists a probabilistic polynomial time algorithm that does better than a random assignment. Otherwise, we say that $P$ is approximation resistant. In this paper, we analyze presidential type predicates, which are balanced linear threshold functions where all of the variables except the first variable (the president) have the same weight. We show that almost all presidential-type predicates $P$ are approximable. More precisely, we prove the following result: for any $δ_0 > 0$, there exists a $k_0$ such that if $k \geq k_0$, $δ\in (δ_0,1 - 2/k]$, and $δk + k - 1$ is an odd integer then the presidential type predicate $P(x) = sign(δk{x_1} + \sum_{i=2}^{k}{x_i})$ is approximable. To prove this, we construct a rounding scheme that makes use of biases and pairwise biases. We also give evidence that using pairwise biases is necessary for such rounding schemes.

研究动机与目标

• 确定总统型谓词的可近似性，即一类平衡线性阈值函数，其中某一变量（'总统'）具有更高的权重。
• 研究是否可使用多项式时间算法，使此类谓词的近似效果优于随机赋值。
• 分析在舍入方案中，成对偏差对于实现非平凡近似比是否必要。
• 通过识别总统型谓词在何种条件下变得可近似，扩展先前的不可近似性结果。
• 探索仅依赖个体偏差的低阶舍入方案在结构上的局限性。

提出的方法

• 基于标准半定规划松弛中导出的偏差 {bi} 和成对偏差 {bij}，构建一种舍入方案。
• 利用谓词的傅里叶分析，比较总统的傅里叶系数 ˆPP 与公民的傅里叶系数 ˆPC 的大小，表明 ˆPP 指数级大于 ˆPC。
• 在 KTW 多面体上设计一种混合策略分布 µ，使得所有阶数 a ≤ m 的矩均消失，从而确保不会对过度或不足满足产生偏向。
• 通过概率构造 KTW 多面体中的点，使其具有特定符号模式，以在度数 1、3、4 和 5 上实现贡献平衡，同时对高影响项使用指数级小的概率。
• 通过证明此类方案无法平衡高阶矩，表明对于固定 m，若不使用成对偏差，则任意阶数 ≤ m 的舍入方案均无法成功。
• 应用 KTW 多面体框架来建模可行的偏差与成对偏差向量，确保与 SDP 松弛的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些总统型谓词，可使用多项式时间算法实现常数因子近似？
• RQ2 在舍入方案中，使用成对偏差是否对于实现非平凡近似是必要的？
• RQ3 低阶舍入方案（有界阶数 m）能否在不使用成对偏差的情况下成功，还是其包含是必不可少的？
• RQ4 总统变量的相对权重（δk）如何影响谓词的可近似性？
• RQ5 KTW 多面体是否存在结构性限制，导致某些舍入方案受阻，特别是对于具有强对称性或主导性的谓词？

主要发现

• 对于任意 δ₀ > 0，存在 k₀，使得对所有 k ≥ k₀ 且 δ ∈ (δ₀, 1 − 2/k] 满足 δk + k − 1 为奇数的情况，谓词 P(x) = sign(δk x₁ + ∑_{i=2}^k x_i) 可实现近似。
• 该舍入方案通过利用 SDP 解中的个体偏差与成对偏差，实现了相对于随机赋值的常数优势。
• 该构造表明成对偏差是必需的：任何不使用成对偏差的固定阶舍入方案在 k 足够大时均无法实现近似。
• 总统变量的傅里叶系数 ˆPP 指数级大于公民的傅里叶系数 ˆPC，这使得可通过战略性地分配概率来平衡高阶矩。
• 对于 m = 5，显式构造了一种混合策略分布 µ，包含五类点，其中第五类点使用指数级小的概率以平衡高阶项。
• 该方法对君主谓词 P(x) = sign((k−2)x₁ + ∑_{i=2}^k x_i) 失效，原因在于 KTW 多面体中的几何约束，如 bi ≥ −b₁（i ≥ 2）