[论文解读] On the approximability of the stable marriage problem with one-sided ties

Bauckholt, Felix, Pashkovich, Kanstantsin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Game Theory and Voting Systems参考文献 12被引用 5

一句话总结

本论文对黄与Telikepalli提出的稳定婚姻问题单边相等偏好情形下的近似算法进行了精细化分析，证明其近似比为13/9，优于此前最优的19/13。分析引入了‘受欢迎女性’与‘跳跃’等新概念，构建于有向辅助图之上，以强化分摊机制，并通过构造一个比值恰好达到13/9的实例，证明了该界是紧致的。

ABSTRACT

The classical stable marriage problem asks for a matching between a set of men and a set of women with no blocking pairs, which are pairs formed by a man and a woman who would both prefer switching from their current status to be paired up together. When both men and women have strict preferences over the opposite group, all stable matchings have the same cardinality, and the famous Gale-Shapley algorithm can be used to find one. Differently, if we allow ties in the preference lists, finding a stable matching of maximum cardinality is an NP-hard problem, already when the ties are one-sided, that is, they appear only in the preferences of one group. For this reason, many researchers have focused on developing approximation algorithm for this problem. In this paper, we give a refined analysis of an approximation algorithm given by Huang and Telikepalli (IPCO14) for the stable marriage problem with one-sided ties, which shows an improved 13/9 -approximation factor for the problem. Interestingly, our analysis is tight.

研究动机与目标

• 改进单边相等偏好稳定婚姻问题的近似比，其中仅一方性别群体可能具有相等偏好。
• 对黄与Telikepalli（2014）提出的组合算法进行更紧致的分析，该算法允许男性最多提出两次，女性最多接受两次。
• 设计一种新的分摊机制，以更准确地计算算法输出与最优匹配之间对称差中的5-增广路径的贡献。
• 通过构造一个实例，证明13/9近似比是紧致的，即在该实例中，算法解恰好为最优匹配的13/9倍。

提出的方法

• 通过定向提议图G′的边，并将算法匹配M中位于5-增广路径上的边进行收缩，构建有向辅助图H。
• 引入‘跳跃’概念——H中特定的结构特征，可更精确地追踪增广路径及其对近似比的贡献。
• 将‘受欢迎女性’定义为在最优匹配中未被其所有偏好对象拒绝的女性，从而在分析中实现更优的分摊分配。
• 设计一种精细化的分摊机制，将每条5-增广路径映射至对称差M ⊕ OPT中的组件，确保任一组件不会被过度分摊。
• 使用路径分摊与不受欢迎分摊，界定每个组件中女性总贡献的上界，证明每个组件的总分摊值至多为3ℓq（当组件有2ℓq + 5条边时）。
• 通过界定所有增广路径的数量及其贡献，结合精细化分摊总和，证明整体近似比满足|OPT| / |M| ≤ 13/9。

实验结果

研究问题

• RQ1 黄与Telikepalli算法在单边相等偏好稳定婚姻问题中的近似比能否超越此前已知的19/13界？
• RQ2 算法输出与最优匹配之间对称差的哪些结构特性可被利用以实现更精细的分析？
• RQ3 13/9近似比是否为紧致界？能否构造出一个实例使得该比值恰好被实现？
• RQ4 通过引入‘跳跃’与‘受欢迎女性’等新概念，如何改进分摊机制，以减少对路径贡献的高估？

主要发现

• 证明黄与Telikepalli（2014）的算法在单边相等偏好的稳定婚姻问题中可实现13/9近似比，优于此前最优的19/13。
• 分析中引入两个关键概念——‘跳跃’与‘受欢迎女性’——使对对称差M ⊕ OPT中5-增广路径的分摊机制更紧致、更精确。
• 13/9近似比被证明是紧致的，因为构造出的实例恰好达到该比值，表明在不改变算法结构的前提下，无法通过该算法实现进一步改进。
• 精细化分摊机制确保任意(2ℓ+5)-增广路径中所有女性的总分摊值至多为3ℓ，这对证明改进后的近似比至关重要。
• 证明中表明，5-增广路径的数量t至多为3ℓΣ，而更长增广路径的数量k至多为ℓΣ，其中ℓΣ为M ⊕ OPT中所有组件的ℓq之和。
• 最终通过结合匹配大小的界与分摊总和的界，推导出|OPT| / |M| ≤ 13/9，确认了该算法的性能保证。