[论文解读] On the Approximation of Submodular Functions

Nikhil R. Devanur, Shaddin Dughmi+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文研究了通过更简单的函数类（如有向/无向图割、覆盖函数和预算加法函数）对复杂子模函数的近似，给出了近似因子的紧致界。结果表明，一般子模函数可被有向图割近似，近似因子为 $ n^2/4 $；对称子模函数可被无向图割近似，近似因子为 $ n-1 $；预算加法函数可被覆盖函数近似，近似因子为 $ e/(e-1) $，所有这些界在常数因子范围内都是紧致的。

ABSTRACT

Submodular functions are a fundamental object of study in combinatorial optimization, economics, machine learning, etc. and exhibit a rich combinatorial structure. Many subclasses of submodular functions have also been well studied and these subclasses widely vary in their complexity. Our motivation is to understand the relative complexity of these classes of functions. Towards this, we consider the question of how well can one class of submodular functions be approximated by another (simpler) class of submodular functions. Such approximations naturally allow algorithms designed for the simpler class to be applied to the bigger class of functions. We prove both upper and lower bounds on such approximations. Our main results are: 1. General submodular functions can be approximated by cut functions of directed graphs to a factor of $n^2/4$, which is tight. 2. General symmetric submodular functions$^{1}$ can be approximated by cut functions of undirected graphs to a factor of $n-1$, which is tight up to a constant. 3. Budgeted additive functions can be approximated by coverage functions to a factor of $e/(e-1)$, which is tight. Here $n$ is the size of the ground set on which the submodular function is defined. We also observe that prior works imply that monotone submodular functions can be approximated by coverage functions with a factor between $O(\sqrt{n} \log n)$ and $Ω(n^{1/3} /\log^2 n) $.

研究动机与目标

• 通过分析子模函数子类可被更简单类近似的程度，理解其相对复杂性。
• 建立一个框架，利用图割函数和覆盖函数等标准且易于处理的子类，对一般子模函数进行近似。
• 为关键函数类建立近似因子的紧致上下界，以拓展算法的适用范围。
• 证明通过更简单类进行近似可保持优化问题的近似保证，使得为简单类设计的算法可应用于更广泛的函数类。

提出的方法

• 将近似问题形式化为寻找最小的 $ \theta $，使得对所有 $ f \in \mathcal{F} $，存在 $ g \in \mathcal{G} $ 满足对所有 $ S \subseteq U $，有 $ f(S) \leq g(S) \leq \theta \cdot f(S) $。
• 利用线性规划对偶性推导近似因子的下界，特别是通过对称子模函数的对偶规划进行对称化处理。
• 构造显式的对偶解以证明下界，尤其针对预算加法函数到覆盖函数的近似，表明当 $ k \to \infty $ 时极限趋近于 $ 1 - 1/e $。
• 通过为每种类别匹配上下界，包括组合论证和二项式系数分析，证明边界的紧致性。
• 利用已有研究结果建立部分边界，例如单调子模函数被覆盖函数近似时，近似因子在 $ O(\sqrt{n}\log n) $ 和 $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ 之间，表明存在较大差距。
• 将图割的下界扩展至超图割，表明 $ r $-正则超图无法比 $ O(n/r) $ 更好地近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般子模函数可被有向图割函数近似到的最佳可能近似因子是多少？
• RQ2 对称子模函数可被无向图割函数近似得多好？该边界的紧致性如何？
• RQ3 使用覆盖函数对预算加法函数进行近似的紧致近似因子是多少？
• RQ4 单调子模函数能否被覆盖函数良好近似？该近似的紧致边界是什么？
• RQ5 当从图割扩展到超图割时，对称子模函数的近似因子如何变化？

主要发现

• 对于满足 $ f(\emptyset) = f(U) = 0 $ 的一般子模函数，可被有向图割函数近似，近似因子为 $ n^2/4 $，且该界是紧致的。
• 对称子模函数可被无向图割函数近似，近似因子为 $ n-1 $，该界在常数因子范围内是紧致的。
• 预算加法函数可被覆盖函数近似，近似因子为 $ e/(e-1) $，且该界是紧致的。
• 对于单调子模函数，已有研究表明其被覆盖函数近似的近似因子介于 $ O(\sqrt{n}\log n) $ 和 $ \Omega(n^{1/3}/\log^2 n) $ 之间，表明存在显著差距。
• 预算加法函数到覆盖函数近似的对偶规划分析，其对偶目标值在 $ k \to \infty $ 时趋近于 $ 1 - 1/e $，证实了 $ e/(e-1) $ 边界的紧致性。
• 超图割函数无法比 $ O(n/r) $ 更好地近似对称子模函数，其中 $ r $-正则超图，该结果扩展了图割的下界。