[论文解读] On the Arithmetic Complexities of Hamming Codes and Hadamard Codes.

Zhengrui Li, Sian-Jheng Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文确定了编码删减的哈达玛码和扩展/标准汉明码所需的异或（XOR）操作的最小数量，并提出了达到该理论下限的编码算法。该工作为这些广泛使用的纠错码建立了最优的算术复杂度。

ABSTRACT

In this paper, we study the arithmetic complexities of Hamming codes and Hadamard codes. To begin with, we present the minimum number of required exclusive-ORs~(XORs) in the encoding of (punctured)~Hadamard codes and (extended)~Hamming codes. Then the encoding algorithms for these codes are presented to achieve the lower bound.

研究动机与目标

• 确定编码删减哈达玛码所需的最小XOR操作数。
• 确定编码扩展和标准汉明码的最小XOR计数。
• 设计能够实现所推导出的XOR使用量理论下限的编码算法。
• 为线性分组码的算术复杂度提供理论基础，并实现实际编码效率。

提出的方法

• 本文分析哈达玛码和汉明码的结构，推导其编码过程中XOR操作数的下限。
• 采用代数和组合技术，表征编码所需的最小线性组合。
• 基于推导出的界限，构建显式的编码算法，确保其在XOR计数方面达到最优。
• 该方法利用哈达玛码和汉明码的对偶性质，利用其已知的生成矩阵结构。
• 通过重用共享的XOR操作，设计编码算法以最小化中间计算量。
• 理论证明确认，所提出的算法实现了给定码类可能的最少XOR数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 编码一个删减哈达玛码所需的最小XOR操作数是多少？
• RQ2 编码扩展或标准汉明码的最小XOR计数是多少？
• RQ3 能否构建出达到这些XOR使用理论下限的编码算法？
• RQ4 这些码的结构特性如何影响其最小算术复杂度？

主要发现

• 本文确定了编码删减哈达玛码所需的精确最小XOR操作数。
• 推导出编码扩展和标准汉明码的精确最小XOR计数。
• 所提出的编码算法实现了理论下限，证明了在算术复杂度上的最优性。
• 结果表明，最小XOR计数与这些码的生成矩阵的秩和结构密切相关。
• 算法的构建确保了不使用任何冗余的XOR操作，从而最大化效率。
• 研究结果为设计这些码的低复杂度软硬件实现提供了基础。