[论文解读] On the arithmetic-geometric index of graphs

Shu‐Yu Cui, Weifan Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2020

Graph theory and applications参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文研究图的算术-几何（AG）指数，建立了紧致的下界和上界，并刻画了极值图。推导了删除一条边后AG指数增加或减少的充分条件，同时对Bollobás-Erdős型定理进行了改进，适用于首项几何-算术（GA）指数，突出了AG与GA指数在边删除效应上的关键差异。

ABSTRACT

Very recently, the first geometric-arithmetic index $GA$ and arithmetic-geometric index $AG$ were introduced in mathematical chemistry. In the present paper, we first obtain some lower and upper bounds on $AG$ and characterize the extremal graphs. We also establish various relations between $AG$ and other topological indices, such as the first geometric-arithmetic index $GA$, atom-bond-connectivity index $ABC$, symmetric division deg index $SDD$, chromatic number $χ$ and so on. Finally, we present some sufficient conditions of $GA(G)>GA(G-e)$ or $AG(G)>AG(G-e)$ for an edge $e$ of a graph $G$. In particular, for the first geometric-arithmetic index, we also give a refinement of Bollobás-Erdős-type theorem obtained in [3].

研究动机与目标

• 建立图的算术-几何（AG）指数的新下界和上界，并刻画实现这些界之极值图。
• 探讨AG指数与其他拓扑指数（如GA、ABC、SDD及色数χ）之间的关系。
• 推导在边删除后AG指数增加或减少的充分条件，与已知的GA指数行为进行对比。
• 改进一个Bollobás-Erdős型定理，适用于首项几何-算术（GA）指数，提升先前关于边删除单调性的结果。
• 研究AG指数在边删除后是否可能保持不变，提出一个关于等式情形的开放问题。

提出的方法

• 通过顶点度序列、最大度Δ、最小非叶度δ₁及叶顶点数p，推导AG指数的解析界。
• 对AG指数表达式应用算术-几何平均不等式：AG(G) = Σ(1/2)(√(di/dj) + √(dj/di))，其中求和范围为所有边。
• 利用基于度的图不变量（如M₁、M₂、F、SDD和ABC指数）建立与AG指数的比较关系。
• 通过比较AG(G)与AG(G−e)分析边删除的影响，引入基于度比及邻域中最大度的条件。
• 提出“递减边”的概念：相邻顶点的度严格大于其邻居的度，确保AG(G) > AG(G−e)。
• 通过基于度分布与邻域结构的更紧致条件，改进一个Bollobás-Erdős型结果，以提供GA(G) > GA(G−e)的更紧充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 以图参数n、m、Δ、δ₁和p表示时，算术-几何（AG）指数的最紧致下界和上界是什么？
• RQ2 哪些图实现AG指数的极值？它们与实现GA指数极值的图相比有何异同？
• RQ3 在何种条件下，边的删除会使AG指数增加或减少？这些条件与GA指数的情形有何不同？
• RQ4 AG指数在边删除后是否可能保持不变？若否，何种结构约束阻止了这种情形？
• RQ5 AG指数与其他基于度的拓扑指数（如ABC、SDD及色数χ）之间有何关系？

主要发现

• AG指数的上界由叶顶点数p、最大度Δ及最小非叶度δ₁决定，且在特定极值图中取等。
• 对于连通图，AG指数在星图K₁,n−1处取最大值，在路径图Pn处取最小值，与GA指数的行为类似。
• 本文给出了AG(G) > AG(G−e)的充分条件，基于相邻顶点的度比及其局部最大度，尤其当两端点均为非叶顶点且相对于邻居具有高程度时。
• 对GA指数的Bollobás-Erdős型定理进行了改进，通过基于度的邻域约束，提供了更紧的GA(G) > GA(G−e)的充分条件。
• 实例表明，AG指数在边删除后可能增加或减少，而GA指数在类似条件下总是减少，揭示了两者在本质上的差异。
• 本文提出一个开放问题：是否存在某张图，使得对某条边e有AG(G) = AG(G−e)，暗示在特定情形下可能存在非单调行为。