[论文解读] On the arithmetic of Z_p-extensions

Michiel Kosters, Daqing Wan|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文利用阿廷-施赖尔-惠特理论与惠特向量技术，为特征 p 的全局函数域中的 ℤₚ-扩张发展了基础工具。它提出了一种新的简化公式来计算施米德-惠特符号，从而能够显式计算局部域中的导子、判别式和分歧群，并推导出关于全局 ℤₚ-扩张的精确亏格公式与亏格增长的下界，同时在射影直线上给出了明确的例子。

ABSTRACT

This paper contains three parts. In the first part, we give a thorough overview of the theory of Artin-Schreier-Witt extensions: this theory allows one to understand the $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$-extensions of any field $K$ of characteristic $p$ via $p$-typical Witt vectors. Let $W_n(K)$ be the ring of $p$-typical Witt vectors of $K$ of length $n$ and let $\wp = F-\mathrm{id}: W_n(K)\longrightarrow W_n(K)$, where $F$ is the Frobenius map and $\mathrm{id}$ is the identity map. Artin-Schreier-Witt theory tells us that the abelian group $W_n(K)/\wp W_n(K)$ represents the set of $\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}$-extensions of $K$. Since this theory is hard to find in literature, we have included a complete treatment in the paper. In the second part of the paper, we study $\mathbf{Z}_p$-extensions of a local field $K=k((T))$ of characteristic $p>0$ where $k$ is a finite field. Local class field theory and Artin-Schreier-Witt theory give us the Schmid-Witt symbol $$[\ ,\ ): W(K)/\wp W(K) imes \widehat{K^*} o W(\mathbf{F}_p)=\mathbf{Z}_p,$$ which contains the ramification information of $\mathbf{Z}_p$-extensions of $K$. We present a new simplified formula for $[\ ,\ )$. This formula allows one to compute ramification groups, conductors and discriminants in an easy way. In the third part, we study $\mathbf{Z}_p$-extensions of global function fields over a finite field. First, we give a formula for computing the genus in such a tower. We show that a previously obtained lower bound for the genus growth in a $\mathbf{Z}_p$-extension is incorrect and we give a sharp lower bound. We also study when the genus behaves in a `stable' way. Finally, we find unique representatives of $\mathbf{Z}_p$-extensions of the rational function field $k(X)$, and compute the genus in such a tower.

研究动机与目标

• 建立一个全面的框架，用于研究特征 p 的全局函数域中的 ℤₚ-扩张，其中经典库默理论不再适用。
• 通过推导一个精确的下界，纠正先前关于 ℤₚ-扩张中亏格增长的不准确下界。
• 利用惠特向量，为局部 ℤₚ-扩张中的导子、判别式和分歧群提供显式可计算的公式。
• 对有理函数域上的 ℤₚ-扩张进行唯一代表元的刻画，并显式计算此类扩张塔中的亏格。

提出的方法

• 利用阿廷-施赖尔-惠特理论，通过 Wₙ(K) 中的 a 解方程 Xᵖ − X = a 来参数化 ℤ/pⁿℤ-扩张，并通过逆极限将其推广至 ℤₚ-扩张。
• 基于塔伊希穆勒提升与 p-进展开，提出一种新的简化公式来表示施米德-惠特符号 [ , ) : W(K)/℘W(K) × K* → ℤₚ。
• 将 W(K)/℘W(K) 中的元素唯一表示为 cβ + Σ cᵢ[T]⁻ⁱ mod ℘W(K)，其中 c ∈ W(𝔽ₚ)，cᵢ ∈ W(k)，cᵢ → 0，从而实现显式算术计算。
• 应用该理论，通过涉及 φ(pʲ) 和由系数的赋值条件导出的分歧指数 uₓ,ⱼ 的公式，计算亏格。
• 使用几何方法，通过残分数域上惠特向量的迹映射，计算未分歧素理想处的弗罗贝尼乌斯元素。
• 将亏格公式应用于射影直线 k(ℙ¹)，显式计算单位根扩张中的亏格增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全局函数域的 ℤₚ-扩张中，亏格增长的正确精确下界是什么？它如何修正文献中先前错误的界限？
• RQ2 如何简化施米德-惠特符号，以实现对 k((T)) 的局部 ℤₚ-扩张中分歧的显式计算？
• RQ3 有理函数域 k(X) 的 ℤₚ-扩张的亏格公式是什么？它在何种情况下表现出稳定性？
• RQ4 如何利用惠特向量唯一参数化 k(X) 上的 ℤₚ-扩张，并计算其亏格？
• RQ5 在这些扩张中，未分歧素理想处的弗罗贝尼乌斯元素具有何种几何解释？

主要发现

• 确立了 ℤₚ-扩张中亏格增长的精确下界，纠正了文献中先前错误的界限。
• 推导出施米德-惠特符号的新公式，该公式推广了经典 n=1 情况，可高效计算分歧群与导子。
• 对于射影直线，ℤₚ-扩张第 n 层的亏格满足 p^{min(n_c,n)}(2gₙ − 2) = −2pⁿ + Σₓ Σⱼ φ(pʲ)uₓ,ⱼ，其中 uₓ,ⱼ 可由系数的赋值显式计算。
• 在由 x = Σ_{(i,p)=1} [bᵢXⁱ] 定义的单位根扩张中，有 u_∞,ₙ = 1 + dp^{n−1}，从而得到显式亏格公式 2gₙ − 2 = (d/(p+1))p²ⁿ − pⁿ − (p+1+d)/(p+1)。
• 当且仅当某个 ℘ 的代表元 x 满足 uₓ,ₙ > 0 时，素理想 ℘ 在 Kₙ/K 中分歧，从而提供了清晰的分歧判别准则。
• 在度为 d′ 的未分歧素理想 𝔭 处，弗罗贝尼乌斯元素由迹映射 Tr_{W(k(z))/W(𝔽ₚ)}(a(z)) 给出，将算术与伽罗瓦作用联系起来。