[论文解读] On the arithmetic self-intersection number of the dualizing sheaf on arithmetic surfaces

Ulf Kuehn|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文为算术曲面的对偶化层的算术自相交数提出了一种新公式，使得对模曲线 $X_0(N)$、$X(N)$ 以及素数指数的费马曲线 $F_p$ 能够建立有效的上界。通过改进阿莱克谢耶夫理论并运用广义算术相交理论，推导出包含判别式、对数导子项以及奇异纤维几何不变量的显式上界，相较于先前方法提供了更简明的途径。

ABSTRACT

We study the arithmetic self-intersection number of the dualizing sheaf on arithmetic surfaces with respect to morphisms of a particular kind. We obtain upper bounds for the arithmetic self-intersection number of the dualizing sheaf on minimal regular models of the modular curves associated with congruence subgroups $Γ_0(N)$ with square free level, as well as for the modular curves X(N) and the Fermat curves with prime exponent.

研究动机与目标

• 推导算术曲面的对偶化层的算术自相交数 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2}$ 的新公式。
• 为模曲线 $X_0(N)$、$X(N)$ 以及素数指数的费马曲线 $F_p$ 的最小正则模型上的 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2}$ 建立有效上界。
• 提供一种系统化方法，利用广义算术相交理论，避免早期方法的技术复杂性。
• 仅依赖于判别式、次数以及在非好素点处的局部相交数等不变量，计算显式上界。

提出的方法

• 利用广义算术相交理论与格林函数，推导 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2}$ 的新一般公式。
• 通过比较基曲线上的双曲度量与覆盖上的阿莱克谢耶夫度量，应用约尔森-克拉默的上范数估计。
• 利用态射 $\boldsymbol{\beta}:{\mathcal{X}}\to{\mathcal{Y}}$ 将问题约化为基曲面上的已知不变量，特别是标记点及其分歧指数。
• 通过由自守形式界导出的与覆盖无关的常数 $\kappa_1$、$\kappa_2$ 计算分析贡献。
• 通过在非好素点处的局部相交数计算几何贡献，使用 $b_{\mathfrak{p}}$ 衡量奇异纤维的复杂性。
• 通过分析 $N$ 或 $p$ 上方素点处的纤维分量、相交重数与分量数，将该界应用于特定曲线。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为算术曲面上对偶化层的算术自相交数 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2}$ 推导出一般公式？
• RQ2 能否为模曲线 $X_0(N)$、$X(N)$ 以及费马曲线 $F_p$ 上的 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2}$ 建立上界？
• RQ3 常数 $\kappa_1$、$\kappa_2$ 以及局部贡献 $a_{\mathfrak{p}}\log\operatorname{Nm}({\mathfrak{p}})$ 如何依赖于覆盖与基曲线的几何结构？
• RQ4 该方法能否避免先前方法的技术困难，例如 [AU] + [MU] 或 [AU] + [JK1] 中的方法？

主要发现

• 对于素数指数 $p$ 的费马曲线 $F_p$，上界为 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2} \leq (2g_p-2)\left(\log|\Delta_{{\mathbb{Q}}(\zeta_p)|{\mathbb{Q}}}|^{2} + [{\mathbb{Q}}(\zeta_p):{\mathbb{Q}}](\kappa_1\log p + \kappa_2) + g_p p^8 \log p\right)$。
• 对于 $N = p^k m$ 的模曲线 $X(N)$，上界为 $\overline{\omega}_{\textrm{Ar}}^{2} \leq (2g_N-2)\left(\log|\Delta_{{\mathbb{Q}}(\zeta_N)|{\mathbb{Q}}}|^{2} + [{\mathbb{Q}}(\zeta_N):{\mathbb{Q}}](\kappa_1\log N + \kappa_2) + 2\sum_{{\mathfrak{p}}\mid N}\frac{(r_{\mathfrak{p}}-1)^2 m_{\mathfrak{p}}}{s_{\mathfrak{p}}}\log\operatorname{Nm}{\mathfrak{p}}\right)$。
• 该方法相较于以往工作，显著缩短了对 $X_0(N)$ 上界的证明，并可推广至非平方自由水平的情形。
• 常数 $\kappa_1$、$\kappa_2$ 为绝对常数，与曲线无关，由约尔森-克拉默对自守形式的估计导出。
• 几何贡献被简化为标准计算，仅涉及分量数 $r_{\mathfrak{p}}$、重数 $m_{\mathfrak{p}}$ 以及相交数 $u_{\mathfrak{p}}$、$l_{\mathfrak{p}}$。
• 对 $X(N)$ 的上界包含对 $N$ 上方素点的求和，系数 $\frac{(r_{\mathfrak{p}}-1)^2 m_{\mathfrak{p}}}{s_{\mathfrak{p}}}$ 随 $p^{2k}$ 增长，反映了纤维的复杂性。