[论文解读] On the arithmetization of syntax

Stephen Boyce|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种修改后的第一阶算术系统 S′，该系统通过参数化个体变量，使其在任何解释下仅取值于被赋值给数字符的对象。通过改编哥德尔的技巧，构造出一个哥德尔句子 (∀x)ℛ(x)，并证明 S′ 不一致，从而暗示标准第一阶算术 S 同样不一致，挑战了算术形式主义的基础假设。

ABSTRACT

It is generally accepted that Godel's proof implies the incompleteness of first-order number theory. This paper shows that the standard demonstration of this result implies that the class of theorems of such systems is not well defined. Proof of the converse of one of the Hilbert-Bernays Derivability Conditions for Godel's second incompleteness theorem essentially yields this result: the theoremhood of a formula is implied if it may be proven in the system that there exists a Godel number of a proof of the formula.

研究动机与目标

• 探究将一阶算术修改为参数化变量是否会导致逻辑不一致。
• 评估此类修改对标准一阶算术（S）一致性的含义。
• 通过暴露元理论中潜在的悖论，检验算术形式主义基础的稳健性。
• 证明若系统不一致，则算术的标准解释无法充当模型。
• 挑战形式主义方法在避免基础算术系统中悖论方面的充分性。

提出的方法

• 通过重新定义函数 s′*，将门泽尔（Mendelson）的一阶数论 S 修改为参数化个体变量，使其仅在任何解释下取值于被赋值给数字符的对象。
• 保留 S 的所有逻辑公理、推理规则和正确公理，确保 S′ 是递归公理化的，并包含皮亚诺算术。
• 使用修改后的哥德尔算术化技术构造一个哥德尔句子 (∀x)ℛ(x)，依赖于通过代入和证明谓词实现的自指。
• 利用 S′ 的完备性，表明若 (∀x)ℛ(x) 不是定理，则存在一个模型使其为假，从而导致矛盾。
• 利用如下事实：对每个数字符 ḡn，S′ 都证明 ℛ(ḡn)，且由于参数化，这意味着在所有模型中 (∀x)ℛ(x) 必须为真。
• 推导出矛盾：若 S′ 一致，则 (∀x)ℛ(x) 在所有模型中为真，因此必为定理，但这与该句子不可证的假设相矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一阶算术中，参数化变量系统是否可能在保留标准公理和规则的前提下导致不一致？
• RQ2 若 S′ 中存在一个既不可证又必然为真的哥德尔句子，是否意味着系统不一致？
• RQ3 若 S′ 因参数化而变得不一致，标准一阶算术解释是否失效？
• RQ4 若形式主义算术的元理论在最小修改下导致矛盾，能否避免悖论？
• RQ5 S′ 的不一致性对形式主义对经典数学的解释的充分性有何启示？

主要发现

• S′ 不一致，因为参数化使得哥德尔句子 (∀x)ℛ(x) 必为定理，从而强制所有实例 ℛ(ḡn) 在所有模型中为真。
• 该构造导致矛盾：若 S′ 一致，则 (∀x)ℛ(x) 在所有模型中为真，因而必为定理，但这与该句子不可证的假设相矛盾。
• 由于 S′ 的语法与标准一阶算术 S 完全相同，S′ 的不一致性意味着 S 同样不一致。
• 标准解释无法作为 S′ 的模型，因为这将要求 (∀x)ℛ(x) 同时为真且不可证，而根据系统的参数化，这是不可能的。
• 结果表明，形式主义算术的元理论并非免于悖论，从而削弱了形式主义可避免基础系统中矛盾的主张。
• 本文结论认为，由于元理论中隐藏的悖论，形式主义算术基础无法为经典数学提供一致且充分的解释。