[论文解读] On the asymptotic behaviour of the fractional Sobolev seminorms in metric measure spaces: Bourgain-Brezis-Mironescu's theorem revisited

Bang-Xian Han, Andrea Pinamonti|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2021

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文将Bourgain-Brezis-Mironescu的分数阶Sobolev半范数渐近公式推广至度量测度空间，证明在几乎处处的切空间为有限维Banach空间或Carnot群的条件下，该公式收敛于经典Sobolev半范数。关键贡献在于提出一个统一的证明框架，适用于欧氏空间、加权黎曼流形、次黎曼流形以及非退化RCD(K,N)空间，明确给出了极限常数K_{p,N}的表达式。

ABSTRACT

We generalize Bourgain-Brezis-Mironescu's asymptotic formula for fractional Sobolev functions, in the setting of abstract metric measure spaces, under the assumption that at almost every point the tangent space in the measured Gromov-Hausdorff sense is a finite dimensional Banach space or a Carnot group. Our result not only covers the known results concerning Euclidean spaces, weighted Riemannian manifolds and finite dimensional Banach spaces, but also extends Bourgain-Brezis-Mironescu's formula to $ cdkn$ spaces and sub-Riemannian manifolds.

研究动机与目标

• 将Bourgain-Brezis-Mironescu的分数阶Sobolev半范数渐近公式从欧氏空间推广至一般的度量测度空间。
• 在切结构的几何假设最小化的前提下，建立非局部半范数收敛于经典Sobolev半范数的条件。
• 在统一的分析框架下，统一并推广此前关于欧氏空间、有限维Banach空间、加权黎曼流形及次黎曼流形的研究结果。
• 证明适用于广泛类别的光滑核的公式，从而通过非局部泛函为Sobolev函数提供新的表征方式。
• 将BBM公式的有效性扩展至非退化RCD(K,N)度量测度空间，该类空间用于建模具有下界Ricci曲率的黎曼空间。

提出的方法

• 利用测度Gromov-Hausdorff收敛性，分析在切锥层次上分数阶半范数的渐近行为。
• 应用非光滑版本的Rademacher定理，确保度量测度空间上Lipschitz函数几乎处处具有弱可微性。
• 采用一族仅依赖于距离d(x,y)的光滑核ρ_n(x,y)，其阶数随维数和指数p呈多项式增长。
• 构造一组双Lipschitz坐标图(φ_δ^i)，以逼近正则点附近的局部几何结构，确保切锥等距同构于R^N或Carnot群。
• 基于密度选择正则点集R_∞，使得在这些点处切空间唯一，且逼近在所有尺度上成立。
• 运用测度论论证控制例外集（如𝒩_k）的测度，证明其在小尺度下密度趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，度量测度空间中的分数阶Sobolev半范数在s↑1时收敛于经典Sobolev半范数？
• RQ2 经典的Bourgain-Brezis-Mironescu公式能否推广至具有下界Ricci曲率的次黎曼流形和RCD(K,N)空间？
• RQ3 在具有有限维切锥的非欧度量测度空间中，渐近公式中的精确极限常数K_{p,N}是什么？
• RQ4 如何将BBM公式推广至满足多项式增长和径向依赖性的任意光滑核？
• RQ5 在底层空间的测度Gromov-Hausdorff收敛下，非局部半范数收敛于Sobolev半范数是否保持稳定？

主要发现

• 渐近公式对所有几乎处处切锥为有限维Banach空间或Carnot群的度量测度空间均成立。
• 渐近公式中的极限常数K_{p,N}被明确识别，并与已知的欧氏情形一致，不依赖于底层几何结构。
• 该结果适用于非退化RCD(K,N)空间，其中测度为N维Hausdorff测度，将公式扩展至具有合成下界Ricci曲率的度量空间。
• 收敛性对满足假设3.4的广泛类光滑核成立，包括用于Sobolev函数热半群表征的核。
• 证明表明，局部坐标图逼近失败的例外集在小尺度下具有趋于零的密度，从而确保测度论意义下的收敛性。
• 该框架统一并推广了此前关于欧氏空间、Banach空间、加权黎曼流形及次黎曼流形的研究结果，基于单一分析原理。