[论文解读] On the asymptotic expansion of maps with disconnected Julia set

Juan Rivera‐Letelier|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 10

一句话总结

本文研究了一类具有不连通 Julia 集的一维映射的渐近展开，表明在周期 Fatou 丛边界上的不动点附近，最优指数收缩率无法实现。论文证明了全局范围内存在一个较弱的统一指数衰减，且构造了一个四次实系数多项式，其所有复临界点均为实数，其作为复映射的渐近展开严格小于其作为实映射的渐近展开。

ABSTRACT

We study the asymptotic expansion of smooth one-dimensional maps. We give an example of an interval map for which the optimal shrinking of components exponential rate is not attained for any neighborhood of a certain fixed point in the boundary of a periodic Fatou component. We prove a general result asserting that, when this happens the components do shrink exponentially, although the rate is not the optimal one. Finally, we give an example of a polynomial with real coefficients, such that all its critical points in the complex plane are real, and such that its asymptotic expansion as a complex map is strictly smaller than its asymptotic expansion as a real map.

研究动机与目标

• 分析具有不连通 Julia 集的光滑区间映射的渐近展开，特别关注原像分量的收缩速率。
• 证明在周期 Fatou 丛边界上的不动点附近，渐近展开中的最优指数收缩速率可能无法实现。
• 在下确界 Lyapunov 指数为正的假设下，建立关于原像的普遍统一指数衰减结果。
• 研究具有实系数且所有临界点为实数的多项式在实与复渐近展开之间的差异。
• 构造一个多项式的显式例子，使得其作为复动力系统的渐近展开严格小于其作为实动力系统的渐近展开。

提出的方法

• 引入一个双参数的四次多项式族，以构造在 Fatou 丛边界附近收缩率最优性失效的反例。
• 利用 Julia 集上的拓扑精确性及非退化条件，确保动力系统行为良好且临界点有限。
• 通过反证法与紧致性论证，证明原像分量的统一指数衰减，其界由下确界 Lyapunov 指数导出。
• 运用组合与动力学估计，控制周期 Fatou 丛及其边界附近原像的大小。
• 利用 Fatou 丛及其迭代像的结构，推导出迭代映射下原像直径的界。
• 构造一个具有实系数且所有临界点为实数的特定多项式，通过不变测度比较实与复设定下的渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 当原像邻域包含周期 Fatou 丛边界上的不动点时，原像分量的最优指数收缩率是否可以实现？
• RQ2 对于具有正下确界 Lyapunov 指数的区间映射，即使最优速率未被实现，原像分量的统一指数衰减是否在全局范围内成立？
• RQ3 具有实系数且所有临界点为实数的多项式是否可能表现出作为复映射的渐近展开严格小于其作为实映射的对应值？
• RQ4 何种动力学条件导致实多项式在实与复扩展下的渐近展开产生差异？
• RQ5 为使渐近展开中收缩率达到最优，是否必须排除周期 Fatou 丛边界点的邻域？

主要发现

• 存在一个非退化的光滑区间映射，其 Julia 集不连通，且下确界 Lyapunov 指数为正，但在周期 Fatou 丛边界上的不动点附近，最优指数收缩率无法实现。
• 尽管最优速率未被实现，原像分量的统一指数衰减在全局范围内依然成立：对于 Julia 集点的任意小邻域，原像以指数速率收缩，其速率常数不超过 exp(χ_inf(f))。
• 若邻域包含周期 Fatou 丛边界的点，则统一衰减估计中的常数 λ 无法任意接近 exp(χ_inf(f))。
• 存在一个四次多项式，其系数为实数，且所有临界点均为实数，使得在 ℂ 上的不变测度下 |DP| 的下确界严格小于在 ℝ 上的相同下确界。
• 这意味着该映射作为复动力系统的渐近展开严格小于其作为实动力系统的渐近展开，即使所有临界点均为实数。
• 该构造表明实与复渐近展开并不等价，挑战了‘实临界点意味着实与复域中扩张行为相似’的直觉。