[论文解读] On the asymptotic expansion of the sum of the first n primes

Nilotpal Sinha|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文推导了前 $ n $ 个素数之和的改进渐近展开式，通过在对数展开中引入更高阶项，超越了 Dusart 的早期结果。利用该展开式，作者将 Mandl 不等式和 Robin 的猜想作为推论加以证明，建立了素数和的更紧致增长估计，其中显式包含了 $ \ln \ln n $ 的多项式修正项以及 $ \ln n $ 的负幂次项。

ABSTRACT

An asymptotic formula for the sum of the first n primes is derived. This result improves the previous results of P. Dusart. Using this asymptotic expansion, we prove the conjectures of R. Mandl and G. Robin on the upper and the lower bound of the sum of the first n primes respectively.

研究动机与目标

• 推导前 $ n $ 个素数之和的渐近展开式，精度超越现有结果。
• 解决 Mandl 和 Robin 长期以来关于前 $ n $ 个素数和的上界与下界猜想。
• 提供一种系统化的渐近展开式，包含 $ \ln \ln n $ 的多项式修正项和 $ \ln n $ 的负幂次项，改进 Dusart 的公式。
• 证明 Mandl 不等式与 Robin 的猜想可直接作为新展开式的推论。
• 通过递归定义的有理系数多项式 $ S_m(\ln \ln n) $，形式化渐近级数的结构，并明确其首项系数。

提出的方法

• 利用 Cipolla 对第 $ n $ 个素数的渐近公式：$ p_n = n[\ln n + \ln \ln n - 1 + \sum_{r=1}^m \frac{(-1)^r P_r(\ln \ln n)}{\ln^r n} + o(\ln^{-m} n)] $，其中 $ P_r $ 为有理系数多项式。
• 应用求和的积分近似：$ \sum_{r \leq n} f(r) = \int_1^n f(x)\,dx + O(|f(n)| + |f(1)|) $，利用素数和函数的连续逼近。
• 对 $ p_n $ 的渐近展开式逐项积分，将每一项视为 $ x $ 的函数，通过重复分部积分法计算相应积分。
• 收集并合并所有积分项，仅保留增长快于误差项 $ o(n^2 / \ln^m n) $ 的项，并识别出 $ \ln \ln n $、$ \ln \ln n / \ln n $ 以及更高阶修正项的系数。
• 导出最终展开式：$ \sum_{r \leq n} p_r = \frac{n^2}{2} \left[ \ln n + \ln \ln n - \frac{3}{2} + \sum_{r=1}^m \frac{(-1)^{r+1} S_r(\ln \ln n)}{r \ln^r n} + o(\ln^{-m} n) \right] $，其中 $ S_r $ 为有理系数多项式。
• 利用推导出的展开式，将 $ \sum_{r < n} p_r $ 与 $ n p_{[n/2]} $ 进行比较，通过渐近比较与误差项分析，证明 Robin 的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 Dusart 公式的基础上，推导出前 $ n $ 个素数之和的更精确渐近展开式？
• RQ2 新展开式是否允许证明 Mandl 不等式与 Robin 关于前 $ n $ 个素数之和的猜想？
• RQ3 前 $ n $ 个素数之和的渐近展开式中，高阶修正项的结构如何？其对 $ \ln \ln n $ 和 $ \ln n $ 的依赖关系是怎样的？
• RQ4 通过引入 $ \ln \ln n $ 的多项式修正项和 $ \ln n $ 的负幂次项，能否改进 Dusart 公式中的误差项？
• RQ5 修正多项式 $ S_m $ 的首项系数行为如何？其次数与有理系数结构是怎样的？

主要发现

• 本文推导出新的渐近展开式：$ \sum_{r \leq n} p_r = \frac{n^2}{2} \left[ \ln n + \ln \ln n - \frac{3}{2} + \frac{\ln \ln n}{\ln n} - \frac{5}{2\ln n} - \frac{\ln^2 \ln n}{2\ln^2 n} + \frac{7\ln \ln n}{2\ln^2 n} - \frac{29}{4\ln^2 n} + o\left(\frac{1}{\ln^2 n}\right) \right] $，对 Dusart 的结果进行了改进。
• 展开式中包含一系列有理系数多项式 $ S_m(\ln \ln n) $，其次数为 $ m $，首项系数为 $ 1/m $，为高阶修正项提供了系统化框架。
• Mandl 不等式 $ \sum_{r \leq n} p_r < \frac{n p_n}{2} $ 作为推论得到确认，新展开式表明两者之差的渐近行为为 $ \sim \frac{n^2}{14} $，与 Hassani 的界一致。
• Robin 的猜想 $ \sum_{r < n} p_r > n p_{[n/2]} $ 对所有充分大的 $ n $ 成立，因为渐近展开式显示两者之差包含一个正项 $ \frac{2\ln 2 - 1}{4}n^2 $。
• 前两个修正多项式被显式计算：$ S_1(x) = x - \frac{5}{2} $，$ S_2(x) = x^2 - 7x + \frac{29}{2} $，验证了展开式的结构与首项系数。
• 展开式的误差项为 $ o(n^2 / \ln^m n) $，该方法确保所有增长快于该误差项的项均被保留，从而保证了渐近级数的精度。