[论文解读] On the asymptotic normality of Hill's estimator of the tail index under random censoring

Brahim Brahimi, Djamel Meraghni+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2013

Statistical Distribution Estimation and Applications被引用 5

一句话总结

本文利用经验过程理论，在仅依赖于正则变体的标准二阶条件的前提下，通过高斯过程近似，建立了随机右删失下Hill估计量尾指数的渐近正态性。该结果放松了以往对尾部行为及上部顺序统计量样本比例的选择的假设。

ABSTRACT

We make use of the empirical process theory to approximate the adapted Hill estimator, for censored data, in terms of Gaussian processes. Then, we derive its asymptotic normality, only under the usual second-order condition of regular variation. Our methodology allows to relax the assumptions, made in Einmahl, Fils-Villetard and Guillou(2008), on the heavy-tailed distribution functions and the sample fraction of upper order statistics.

研究动机与目标

• 在存在随机删失的情况下，建立Hill估计量的渐近正态性。
• 减少对先前研究中所用重尾分布函数强假设的依赖。
• 放松传统上对用于渐近正态性的上部顺序统计量样本比例的约束。
• 为删失下尾指数估计提供更一般化的理论基础，采用经验过程技术。

提出的方法

• 使用经验过程理论对删失数据的改进Hill估计量进行近似。
• 将估计量表示为经验过程的泛函，从而实现高斯过程近似。
• 应用弱收敛论证，将经验过程与极限高斯过程联系起来。
• 仅依赖于正则变体的标准二阶条件作为唯一正则性假设。
• 通过在此条件下分析归一化估计量的弱极限，推导出渐近正态性。
• 证明了极限分布为正态分布，且无需额外的矩或尾部行为假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅使用最小假设的前提下，能否在随机删失下建立Hill估计量的渐近正态性？
• RQ2 对潜在分布的尾部行为假设可以在多大程度上放宽？
• RQ3 对上部顺序统计量样本比例的选择如何影响渐近分布？
• RQ4 经验过程理论能否有效用于推导删失Hill估计量的极限分布？
• RQ5 标准二阶正则变体条件是否足以在删失条件下保证渐近正态性？

主要发现

• 在仅依赖于正则变体的标准二阶条件的前提下，建立了随机删失下Hill估计量的渐近正态性。
• 该方法为估计量提供了严格的高斯过程近似，从而支持弱收敛分析。
• 该方法消除了先前研究中对尾部分布函数强假设的依赖。
• 与以往工作相比，上部顺序统计量的样本比例可更灵活地选择。
• 估计量的极限分布为正态分布，其方差结构由经验过程近似导出。
• 该结果将Hill估计量的理论有效性扩展到了在更一般且更现实条件下删失数据的情形。