[论文解读] On the asymptotic normality of persistent Betti numbers

Johannes Krebs, Wolfgang Polonik|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2019

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文在临界参数范围内，建立了泊松过程与二项式过程的持久贝蒂数的多变量渐近正态性，扩展了以往的逐点结果。通过证明持久贝蒂数具有强稳定性质，作者表明归一化持久贝蒂数的联合分布收敛于所有参数对 (r,s) 下的多变量正态分布，且不受渗滤效应影响。

ABSTRACT

Persistent Betti numbers are a major tool in persistent homology, a subfield of topological data analysis. Many tools in persistent homology rely on the properties of persistent Betti numbers considered as a two-dimensional stochastic process $ (r,s) \mapsto n^{-1/2} (β^{r,s}_q ( \mathcal{K}(n^{1/d} \mathcal{X}_n))-\mathbb{E}[β^{r,s}_q ( \mathcal{K}( n^{1/d} \mathcal{X}_n))])$. So far, pointwise limit theorems have been established in different settings. In particular, the pointwise asymptotic normality of (persistent) Betti numbers has been established for stationary Poisson processes and binomial processes with constant intensity function in the so-called critical (or thermodynamic) regime, see Yogeshwaran et al. [2017] and Hiraoka et al. [2018]. In this contribution, we derive a strong stabilization property (in the spirit of Penrose and Yukich [2001] of persistent Betti numbers and generalize the existing results on the asymptotic normality to the multivariate case and to a broader class of underlying Poisson and binomial processes. Most importantly, we show that the multivariate asymptotic normality holds for all pairs $(r,s)$, $0\le r\le s<\infty$, and that it is not affected by percolation effects in the underlying random geometric graph.

研究动机与目标

• 将持久贝蒂数的逐点渐近正态性推广至所有 (r,s) 对的多变量情形。
• 将现有中心极限定理从齐次情形扩展至具有有界密度的非齐次泊松与二项式过程。
• 建立持久贝蒂数的强稳定性质，从而可应用Trinh（2019）的抽象中心极限定理结果。
• 证明在临界参数范围内，持久贝蒂数的渐近正态性不受渗滤效应影响。
• 为使用持久同调进行拓扑数据分析中的统计推断提供严格的理论基础。

提出的方法

• 通过一个几何引理证明持久贝蒂数的强稳定性质，该引理界定了单个点对贝蒂数的影响。
• 将Trinh（2019）的抽象中心极限定理应用于由加权持久贝蒂数之和定义的泛函。
• 利用强度不超过密度上确界 κ 的泊松过程进行随机支配，建立泊松与二项式过程的有界矩条件。
• 利用平移不变性及球体内点数的矩界，控制加一成本函数的四阶矩。
• 将渐近方差表示为强度函数与点对持久贝蒂数局部影响的泛函。
• 在单位强度过程中，将极限方差表达为局部导数泛函 α(λ^{1/d}(r,s)) 的协方差结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界参数范围内，持久贝蒂数的多变量渐近正态性是否对所有 (r,s) 对成立，而不仅限于逐点情形？
• RQ2 渐近正态性结果能否从齐次情形推广至具有有界密度的非齐次泊松与二项式过程？
• RQ3 在底层随机几何图中，持久贝蒂数的渐近正态性是否对渗滤效应具有鲁棒性？
• RQ4 在多变量设定下，多个 (r,s) 对的极限协方差结构的精确形式为何？
• RQ5 持久贝蒂数的强稳定性质如何使抽象中心极限定理得以应用？

主要发现

• 持久贝蒂数的多变量渐近正态性对所有满足 0 ≤ r ≤ s < ∞ 的 (r,s) 对均成立，扩展了以往的逐点结果。
• 归一化持久贝蒂数的极限分布为多变量正态分布，其极限方差依赖于通过泛函 α(λ^{1/d}(r,s)) 表示的点的局部影响。
• 渐近方差由一个协方差表达式给出，该表达式包含局部导数泛函乘积的期望减去其期望的乘积。
• 强稳定性质确保任一单点对持久贝蒂数的影响随距离迅速衰减，从而支持混合型中心极限定理的应用。
• 结果对渗滤效应具有鲁棒性，因为收敛性不依赖于随机几何复形的全局连通性特征。
• CLT 所需的有界矩条件通过强度不超过 ||κ||∞ 的泊松过程进行随机支配得以验证，确保适用于一般有界密度。