[论文解读] On the automorphism group of foliations with geometric transverse structure

Laurent Meersseman, Marcel Nicolau+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究具有几何横截结构的叶状结构的自同构群，表明尽管一般叶状结构保持微分同胚群可能并非李群，但横截全纯与黎曼叶状结构的自同构群是强ILH-李群。该结果通过Sobolev完备化及横截等距或全纯映射的局部群结构建立，使无限维几何中可应用高级微积分工具。

ABSTRACT

Motivated by questions of deformations/moduli in foliation theory, we investigate the structure of some groups of diffeomorphisms preserving a foliation. We give an example of a $C^\infty$ foliation whose diffeomorphism group is not a Lie group in any reasonable sense. On the positive side, we prove that the automorphism group of a transversely holomorphic foliation or a riemannian foliation is a strong ILH Lie goup in the sense of Omori.

研究动机与目标

• 为解决具有几何横截结构的叶状结构自同构群的结构模糊性，特别是其是否具有李群结构。
• 通过构造反例，回应Leslie早期声称所有叶状结构保持微分同胚群均为弗雷chet李群的缺陷。
• 证明横截全纯与黎曼叶状结构的自同构群为强ILH-李群，从而可在无限维空间中应用隐函数定理与Frobenius定理。
• 确立此类自同构群在微分同胚群中为闭子群，并继承第二可数、LPSAC拓扑。

提出的方法

• 构造一个 $ C^{\infty} $ 叶状结构，其微分同胚群在任何合理意义上均非李群，以证明几何横截结构的必要性。
• 利用Sobolev完备化 $ \mathcal{D}^k $ 和逆极限结构，将自同构群建模为ILH-李群。
• 将自同构群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 识别为同时保持叶状结构及其几何结构的微分同胚子群。
• 利用在完备横截面上，局部等距或全纯映射由其1阶喷射唯一确定的事实，实现有限维嵌入与局部紧致性。
• 应用Salem的方法，表明局部自同构源于与全息伪群交换的Killing或全纯向量场。
• 通过乘法映射 $ \hat{\Psi} $ 与浸没映射 $ \hat{\Phi} $ 构造局部坐标，证明 $ \operatorname{Aut}^k(\mathcal{F}) $ 为Hilbert流形，且 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 为ILH-李群。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般 $ C^\infty $ 叶状结构的自同构群在任何合理意义上是否可能为李群？
• RQ2 在横截结构满足何种几何条件时，叶状结构的自同构群成为强ILH-李群？
• RQ3 横截全纯叶状结构的自同构群是否为强ILH-李群？
• RQ4 黎曼叶状结构的自同构群是否为强ILH-李群？
• RQ5 自同构群能否通过与全息群交换的向量场，局部模型化为单连通李群？

主要发现

• 横截全纯叶状结构的自同构群为强ILH-李群，其李代数为 $ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $，如定理3.3所示。
• 黎曼叶状结构的自同构群为强ILH-李群，且在 $ \mathcal{D}_\mathcal{F} $ 中闭合，其李代数为 $ \mathfrak{aut}(\mathcal{F}) $，如定理4.3所确立。
• 自同构群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 允许一个李叶状结构 $ \mathcal{F}_\mathcal{D} $，其横截模型为单连通复李群 $ G $。
• 局部自同构被识别为与全息伪群交换的Killing或全纯向量场的流，确保局部紧致性与李群结构。
• 局部自同构群 $ \tilde{\Sigma} $ 嵌入横截面上的1阶喷射空间，该空间为有限维，从而可应用有限维技术。
• 自同构群 $ \operatorname{Aut}(\mathcal{F}) $ 的拓扑为第二可数且LPSAC，确认其具有良好行为的拓扑结构。